Question

Докажите, что уравнение х² + 2у² = 2005 не может иметь решений в целых числах.

Answer 1

Ответ:

2y^2=2005-x^2

y^2=2005-x^2/2

2005-нечётное

x^2-чётное

Если от нечётного отнять чётное всегда будет нечётное

Если нечётное поделить на чётное целого числа не будет

Объяснение:

Answer 2

Ответ:

Ответ:

2y^2=2005-x^2

y^2=2005-x^2/2

2005-нечётное

x^2-чётное

Если от нечётного отнять чётное всегда будет нечётное

Если нечётное поделить на чётное целого числа не будет

Answer 3

Для доказательства того, что уравнение $x^2 + 2y^2 = 2005$ не может иметь решений в целых числах, можно воспользоваться методом "метода бесконечного спуска" (infinite descent).

Предположим, что у уравнения есть решение в целых числах $x$ и $y$. Далее, рассмотрим это уравнение по модулю 2:

$x^2 + 2y^2 \equiv 1 \pmod 2.$

Теперь рассмотрим возможные случаи для остатка $x$ и $y$ при делении на 2:

1. Если $x$ и $y$ оба четные ($x \equiv 0 \pmod 2$ и $y \equiv 0 \pmod 2$), то $x^2 \equiv 0 \pmod 4$ и $2y^2 \equiv 0 \pmod 4$, откуда $x^2 + 2y^2 \equiv 0 \pmod 4$, но это противоречит $x^2 + 2y^2 \equiv 1 \pmod 2$.

2. Если $x$ четное ($x \equiv 0 \pmod 2$) и $y$ нечетное ($y \equiv 1 \pmod 2$), то $x^2 \equiv 0 \pmod 4$ и $2y^2 \equiv 2 \pmod 4$, откуда $x^2 + 2y^2 \equiv 2 \pmod 4$, но снова это противоречит $x^2 + 2y^2 \equiv 1 \pmod 2$.

3. Если $x$ нечетное ($x \equiv 1 \pmod 2$) и $y$ четное ($y \equiv 0 \pmod 2$), то $x^2 \equiv 1 \pmod 4$ и $2y^2 \equiv 0 \pmod 4$, откуда $x^2 + 2y^2 \equiv 1 \pmod 4$, но снова это противоречит $x^2 + 2y^2 \equiv 1 \pmod 2$.

4. Если $x$ и $y$ оба нечетные ($x \equiv 1 \pmod 2$ и $y \equiv 1 \pmod 2$), то $x^2 \equiv 1 \pmod 4$ и $2y^2 \equiv 2 \pmod 4$, откуда $x^2 + 2y^2 \equiv 3 \pmod 4$, но снова это противоречит $x^2 + 2y^2 \equiv 1 \pmod 2$.

Мы рассмотрели все возможные случаи для $x$ и $y$ по модулю 2 и пришли к противоречию в каждом случае. Это означает, что исходное уравнение $x^2 + 2y^2 = 2005$ не имеет решений в целых числах.