Question

Найдите координаты вершины параболы и точек ее пересечения с осями Ох и Оу У= - 2х^2+х - 1/9. У=8х^2-х- 1/4.

Answer 1

$1)\; \; y=-2x^2+x-\frac{1}{9}\\\\x(versh.)=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{-4}=\frac{1}{4}\\\\y(versh.)=y(\frac{1}{4})=-2\cdot \frac{1}{16}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{-9+18-8}{72}=\frac{1}{72}\\\\V(\frac{1}{4}\, ;\, \frac{1}{72})\\\\OY:\; \; x=0\; \; \Rightarrow \; \; \; y=-\frac{1}{9}\; \; ,\; \; \underline {A(0,-\frac{1}{9})}\\\\OX:\; \; y=0\; \; \Rightarrow \; \; -2x^2+x-\frac{1}{9}=0\\\\D=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}\; \; ,\; \; x_{1,2}=\frac{-1\pm \frac{1}{3}}{-4}$

$x_1=\frac{-1-\frac{1}{3}}{-4}=\frac{-4}{-3\cdot 4}=\frac{1}{3}\; \; ,\; \; x_2=\frac{-1+\frac{1}{3}}{-4}=\frac{-2}{-3\cdot 4}=\frac{1}{6}\\\\\underline {B(\frac{1}{3}\, ;\, 0)\; \; ,\; \; C(\frac{1}{6}\, ;\, 0)}$

$2)\; \; y=8x^2-x-\frac{1}{4}\\\\x(versh.)=\frac{1}{2\cdot 8}=\frac{1}{16}\\\\y(versh.)=8\cdot \frac{1}{256}-\frac{1}{16}-\frac{1}{4}=\frac{1-2-8}{32}=-\frac{9}{32}\\\\\underline {V(\frac{1}{16}\, ;\, -\frac{9}{32})}\\\\OY:\; \; x=0\; \; \Rightarrow \; \; \; y=-\frac{1}{4}\; \; ,\; \; \underline {A(0\, ,\, -\frac{1}{4})}$

$OX:\; \; y=0\; \; \Rightarrow \; \; \; 8x^2-x-\frac{1}{4}=0\\\\D=1+8=9\; \; ,\; \; x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{16}\\\\x_1=\frac{1-3}{16}=-\frac{1}{8}\; \; ,\; \; x_2=\frac{1+3}{16}=\frac{1}{4}\\\\\underline {B(-\frac{1}{8}\, ,\, 0)\; \; ,\; \; C(\, \frac{1}{4}\, ,\, 0)}$

Answer 2

Для нахождения координат вершины параболы и точек её пересечения с осями Oх и Oу необходимо проанализировать уравнения и выразить нужные значения.

1. Координаты вершины параболы: Парабола имеет уравнение вида y = ax^2 + bx + c. В нашем случае, у нас есть два уравнения парабол:

2. y = -2x^2 + x - 1/9

3. y = 8x^2 - x - 1/4

Общая форма уравнения параболы y = ax^2 + bx + c позволяет нам выразить координаты вершины следующим образом: x_вершины = -b / (2a) y_вершины = -(b^2 - 4ac) / (4a)

Для первой параболы (y = -2x^2 + x - 1/9): a = -2, b = 1, c = -1/9

x_вершины = -1 / (2 * (-2)) = -1 / (-4) = 1/4 y_вершины = -((1)^2 - 4 * (-2) * (-1/9)) / (4 * (-2)) = -(-1 - 8/9) / (-8) = -(1/9) / (-8) = 1/72

Таким образом, координаты вершины первой параболы: (1/4, 1/72).

Для второй параболы (y = 8x^2 - x - 1/4): a = 8, b = -1, c = -1/4

x_вершины = -(-1) / (2 * 8) = 1 / 16 y_вершины = -((-1)^2 - 4 * 8 * (-1/4)) / (4 * 8) = -(1 + 2) / 32 = -3 / 32

Таким образом, координаты вершины второй параболы: (1/16, -3/32).

2. Точки пересечения с осями Oх и Oу:

• Для пересечения с Oх, необходимо приравнять уравнение параболы к нулю и решить уравнение относительно x.

• Для пересечения с Oу, необходимо приравнять x к нулю и вычислить соответствующее значение y.

Первая парабола (y = -2x^2 + x - 1/9): Пересечение с Oх: -2x^2 + x - 1/9 = 0 Для решения этого уравнения, можно воспользоваться квадратным уравнением или графически. Получаем два значения x: x1 ≈ -0.266 и x2 ≈ 0.391. Пересечение с Oу: При x = 0, y = -1/9.

Вторая парабола (y = 8x^2 - x - 1/4): Пересечение с Oх: 8x^2 - x - 1/4 = 0 Решая уравнение, получаем два значения x: x1 ≈ -0.218 и x2 ≈ 0.281. Пересечение с Oу: При x = 0, y = -1/4.

Таким образом, точки пересечения с осями Oх и Oу для каждой параболы следующие:

Первая парабола:

• Пересечение с Oх: x1 ≈ -0.266, x2 ≈ 0.391
• Пересечение с Oу: (0, -1/9)

Вторая парабола:

• Пересечение с Oх: x1 ≈ -0.218, x2 ≈ 0.281
• Пересечение с Oу: (0, -1/4)