Question

Решите 4х^3 - 25x меньше 0

Answer 1

$4x^{3} - 25x < 0$

ОДЗ: $x \in R$

$x(4x^{2} - 25) < 0$

Найдем точки пересечения с осью абсцисс:

$x(4x^{2} - 25) = 0$

$\left[\begin{array}{ccc}x = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\4x^{2} - 25 = 0\\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}x = 0 \ \ \ \ \\4x^{2} = 25\\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}x = 0 \ \ \ \ \\x^{2} = \dfrac{25}{4} \\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}x = 0 \ \ \ \\x = \pm \dfrac{5}{2} \\\end{array}\right$

Нарисуем координатную прямую и отметим на ней точки пересечения с осью абсцисс, и найдем значение функции $y = 4x^{3} - 25x$ на каждом участке ("+" — если функция находится над осью абсцисс, "-" — если функция находится под осью абсцисс), подставляя в функцию число из промежутка (см. вложение).

Так как у нас неравенство $y < 0$, то нас устроят промежутки со знаком "-", не включая точки пересечения с осью абсцисс.

Ответ: $x \in \left(-\infty ; -\dfrac{5}{2} \right) \cup \left(0; \ \dfrac{5}{2} \right)$

Answer 2

Для решения неравенства 4x^3 - 25x < 0, мы должны найти значения переменной x, при которых неравенство выполняется.

1. Начнем с факторизации выражения: 4x^3 - 25x = x(4x^2 - 25).

2. Мы видим, что первый множитель x всегда положительный или равен нулю. Поэтому мы можем сконцентрироваться на решении второго множителя: 4x^2 - 25 < 0.

3. Чтобы решить это квадратное неравенство, сначала найдем его корни. Решим уравнение 4x^2 - 25 = 0:

   4x^2 - 25 = 0 (2x - 5)(2x + 5) = 0 x = 5/2 или x = -5/2.

4. Теперь мы можем построить знаковую линию, чтобы определить знак выражения 4x^2 - 25 для различных интервалов:

   ---(-5/2)---(-5/2)---(5/2)---(5/2)---,

   где "---" представляет отрезок числовой оси, а значения -5/2 и 5/2 указывают корни уравнения 4x^2 - 25 = 0.

5. Выберем тестовую точку в каждом из трех интервалов и проверим знак выражения 4x^2 - 25 в каждом из них:

   Для x < -5/2, возьмем x = -3: 4(-3)^2 - 25 = 16 - 25 = -9 (отрицательное). Для -5/2 < x < 5/2, возьмем x = 0: 4(0)^2 - 25 = 0 - 25 = -25 (отрицательное). Для x > 5/2, возьмем x = 3: 4(3)^2 - 25 = 36 - 25 = 11 (положительное).

6. Таким образом, решением неравенства 4x^3 - 25x < 0 является интервал x < -5/2 или -5/2 < x < 5/2.

Обратите внимание, что мы исключили интервал x > 5/2, так как выражение становится положительным для значений x, больших 5/2.