Question

Докажите неравенство b в квадрате+9>-4b; х в квадрате + у в квадрате>2(х+y-1).

Answer 1

Объяснение:

1) b²+9 > -4b - выносим все значения в левую часть, чтобы начать решать неравенство:

b²+9+4b>0 - упорядчиваем составляющие, чтобы получить полное квадратное уравнение:

b²+4b+9>0

D (дискриминант) = b²-4ac = 4² - 4×1×9 = 16-26 = -20 - ∅ (пустое множество, т.к. D<0)

Ответ: к неравенству b²+9 > -4b можно подставлять только значения, больше 0.

Answer 2

Для доказательства неравенств, нужно разбить его на два отдельных неравенства и решить их по отдельности. Начнем с первого неравенства:

1. b^2 + 9 > -4b

Для начала, приведем всё в одну часть неравенства:

b^2 + 4b + 9 > 0

Теперь давайте решим это неравенство. Мы можем определить его характеристики, используя дискриминант:

Дискриминант (D) квадратного трехчлена ax^2 + bx + c равен D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 1, b = 4, c = 9.

D = 4^2 - 4 * 1 * 9 = 16 - 36 = -20

Так как дискриминант отрицателен, у нас нет действительных корней. Это значит, что уравнение не пересекает ось x и, следовательно, знак у нашего квадратного трехчлена никогда не меняется.

Теперь посмотрим на значение нашего квадратного трехчлена при b = 0:

0^2 + 4 * 0 + 9 = 9 > 0

Таким образом, уравнение b^2 + 4b + 9 > 0 всегда верно для всех значений b.

Теперь перейдем ко второму неравенству:

2. x^2 + y^2 > 2(x + y - 1)

Приведем всё в одну часть неравенства:

x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 > 0

Мы можем рассмотреть это как сумму двух квадратных трехчленов: (x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) + 2.

Давайте завершим квадрат для каждого квадратного трехчлена:

1. Для x^2 - 2x:

Чтобы завершить квадрат, мы должны добавить квадрат половины коэффициента перед x:

x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1

2. Для y^2 - 2y:

Аналогично, мы добавим квадрат половины коэффициента перед y:

y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1

Теперь подставим эти завершенные квадраты обратно в исходное неравенство:

(x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 + 2 > 0

(x - 1)^2 + (y - 1)^2 > 0

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то (x - 1)^2 ≥ 0 и (y - 1)^2 ≥ 0. Таким образом, их сумма всегда неотрицательна, а равенство (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 0 возможно только при x = 1 и y = 1.

Поскольку неравенство (x - 1)^2 + (y - 1)^2 > 0 всегда выполняется за исключением точки (1, 1), то исходное неравенство также верно для всех значений (x, y), кроме (1, 1).

Итак, мы доказали оба неравенства:

1. b^2 + 9 > -4b верно для всех значений b.

2. x^2 + y^2 > 2(x + y - 1) верно для всех значений (x, y), кроме (1, 1).