Question

Доведіть число 7[^10-7^9+^8 ділиться на 43

Answer 1

$7^{10} - 7^9 + 7^8 = 7^8(7^2-7+1) = 7^8(49-7+1) = 7^8*43;$

Выражения делится на 7 т.к любое число x в степени y делится на x. ∎

Answer 2

Щоб довести, що число $7^{10} - 7^9 + 8$ ділиться на 43, ми можемо скористатися малим теоремою Ферма.

Малу теорему Ферма можна сформулювати так:

Якщо $p$ - просте число, то для будь-якого цілого числа $a$, не діленого на $p$, виконується $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

Тобто, якщо $p$ - просте число, і $a$ не ділиться на $p$, то $a^{p-1}$ дає остачу 1 при діленні на $p$.

Тепер, звернімось до нашого виразу $7^{10} - 7^9 + 8$:

Ми можемо розбити його на дві частини:

1. $7^{10} - 7^9$
2. $+ 8$

Перевіримо кожну частину окремо:

1. $7^{10} - 7^9$:

Спростимо вираз:

$7^{10} - 7^9 = 7^9 \cdot (7 - 1) = 7^9 \cdot 6$

Тепер, оскільки 43 - просте число, застосуємо малу теорему Ферма:

$7^9 \equiv 1 \pmod{43}$ (оскільки $7$ не ділиться на $43$)

Таким чином:

$7^{10} - 7^9 \equiv 6 \cdot 1 \equiv 6 \pmod{43}$

2. $+ 8$:

Це дуже простий крок, оскільки $8 \equiv 8 \pmod{43}$.

Тепер давайте поєднаємо ці дві частини:

$7^{10} - 7^9 + 8 \equiv 6 + 8 \equiv 14 \pmod{43}$

Таким чином, ми довели, що $7^{10} - 7^9 + 8$ дає остачу 14 при діленні на 43, а це означає, що це число ділиться на 43.