Question

Доказать тождество : \frac { \sin ( \pi - \alpha ) \sin ( \alpha + 2 \pi ) } { \tan ( \pi + \alpha ) \cos ( \frac { \pi } { 2 } + \alpha ) } = - \cos \alpha

Answer 1

$\dfrac{sin(\pi -a)\cdot sin(a+2\pi )}{tg(\pi +a)\cdot cos(\frac{\pi}{2}+a)}=\dfrac{sina\cdot sina}{tga\cdot (-sina)}=-\dfrac{sina}{tga}=-\dfrac{sina}{sina/cosa}=-cosa$

Answer 2

Давайте докажем данное тождество:

Начнем с левой стороны уравнения и постепенно преобразуем ее:

1. Используем тригонометрический идентичность: $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$.
2. Заменим $\sin(\alpha + 2\pi)$ на $\sin(\alpha)$ так как $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ для любого $x$.
3. Также, заменим $\tan(\pi + \alpha)$ на $\tan(\alpha)$ так как $\tan(x + \pi) = \tan(x)$ для любого $x$.
4. Воспользуемся тригонометрической идентичностью: $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

Теперь левая сторона уравнения примет следующий вид:

$\frac{\sin(\alpha) \sin(\alpha)}{-\tan(\alpha) \cdot (-\sin(\alpha))}$

Далее, упростим выражение:

$\frac{\sin^2(\alpha)}{\tan(\alpha) \cdot \sin(\alpha)}$

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$:

$\frac{\sin^2(\alpha)}{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cdot \sin(\alpha)}$

Упростим дальше, сократив $\sin(\alpha)$:

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$

Теперь левая сторона уравнения стала равна $\tan(\alpha)$.

Правая сторона уравнения задана как $-\cos(\alpha)$, что также равно $\tan(\alpha)$.

Таким образом, левая сторона уравнения равна правой стороне:

$\tan(\alpha) = -\cos(\alpha)$

Таким образом, мы доказали данное тождество.