Question

Используя формулы сложения для тангенса и котангенса найдите значения:2)ctg15° 4)tg105° 6)ctg105° И еще задание Найдите значения:ctg(a+B) и ctg(a-B) если ctg a=2 и ctgB=-1,6

Answer 1

$ctg(a+\beta)=\frac{ctga*ctg\beta-1}{ctg\beta+ctga}\\\\ctg(a-\beta)=\frac{ctga*ctg\beta+1}{ctg\beta-ctga}\\\\tg(a+\beta)=\frac{tga+tg\beta}{1-tga*tg\beta}$

$ctg15^0=ctg(45^0-ctg30^0)=\frac{ctg45^0*ctg30^0+1}{ctg30^0-ctg45^0}=\\\\=\frac{1*\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{3+1+2\sqrt{3}}{3-1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$

$tg105^0=tg(60^0+45^0)=\frac{tg60^0+tg45^0}{1-tg60^0tg45^0}=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}=\\\\=\frac{1+3+2\sqrt{3}}{1-3}=\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}=-2-\sqrt{3}$

$ctg105^0=\frac{1}{tg105^0}=\frac{1}{-2-\sqrt{3}}=-\frac{1}{2+\sqrt{3}}=-\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\\\\=-\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=-\frac{2-\sqrt{3}}{1}= -2+\sqrt{3}$

$ctga=2,\;\;ctg\beta=-1,6\\\\ctg(a+\beta)=\frac{ctgactg\beta-1}{ctg\beta+ctga}=\frac{2*(-1,6)-1}{-1,6+2}=\frac{-3,2-1}{0,4}=\frac{-4,2}{0,4}=-10,5\\\\ctg(a-\beta)=\frac{ctgactg\beta+1}{ctg\beta-ctga}=\frac{2*(-1,6)+1}{-1,6-2}=\frac{-3,2+1}{-3,6}=\frac{-2,2}{-3,6}=\frac{11}{18}$

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся формулами сложения для тангенса и котангенса:

1. ctg(15°): ctg(15°) = 1 / tan(15°) Для нахождения значения ctg(15°), сначала найдем значение tan(15°) и затем возьмем его обратное значение. Используем формулу тангенса суммы двух углов: tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a) * tan(b))

Угол 15° можно представить как сумму углов 45° и -30°: 15° = 45° - 30°

tan(15°) = tan(45° - 30°) = (tan(45°) + tan(-30°)) / (1 - tan(45°) * tan(-30°))

Значение tan(45°) = 1, а tan(-30°) = -√3/3 (из таблицы значений тригонометрических функций).

Подставляем значения: tan(15°) = (1 + (-√3/3)) / (1 - 1 * (-√3/3))

Упрощаем: tan(15°) = (1 - √3/3) / (1 + √3/3) Умножаем числитель и знаменатель на 3: tan(15°) = (3 - √3) / (3 + √3)

Теперь находим обратное значение: ctg(15°) = 1 / tan(15°) ctg(15°) = (3 + √3) / (3 - √3)

Таким образом, ctg(15°) равен (3 + √3) / (3 - √3).

2. tg(105°): tg(105°) = -tan(75°) (так как tg(90° + x) = -tan(x))

Используем формулу тангенса разности двух углов: tan(a - b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a) * tan(b))

Угол 75° можно представить как сумму углов 45° и 30°: 75° = 45° + 30°

tan(75°) = tan(45° + 30°) = (tan(45°) - tan(30°)) / (1 + tan(45°) * tan(30°))

Значение tan(45°) = 1, а tan(30°) = 1/√3 (из таблицы значений тригонометрических функций).

Подставляем значения: tan(75°) = (1 - 1/√3) / (1 + 1 * 1/√3) Умножаем числитель и знаменатель на √3: tan(75°) = (√3 - 1) / (√3 + 1)

Используя соотношение tg(105°) = -tan(75°): tg(105°) = - (√3 - 1) / (√3 + 1)

Таким образом, tg(105°) равен - (√3 - 1) / (√3 + 1).

3. ctg(105°): ctg(105°) = 1 / tg(105°) ctg(105°) = - (√3 + 1) / (√3 - 1)

Теперь перейдем к второй части задания:

Дано: ctg(a) = 2 ctg(B) = -1.6

Найдем значение ctg(a + B): Используем формулу ctg(a + B) = (ctg(a) * ctg(B) - 1) / (ctg(a) + ctg(B))

Подставляем значения: ctg(a + B) = (2 * (-1.6) - 1) / (2 + (-1.6))

Упрощаем: ctg(a + B) = (-3.2 - 1) / 0.4 ctg(a + B) = -4.2 / 0.4 ctg(a + B) = -10.5

Аналогично, найдем значение ctg(a - B): Используем формулу ctg(a - B) = (ctg(a) * ctg(B) + 1) / (ctg(a) - ctg(B))

Подставляем значения: ctg(a - B) = (2 * (-1.6) + 1) / (2 - (-1.6))

Упрощаем: ctg(a - B) = (-3.2 + 1) / (2 + 1.6) ctg(a - B) = -2.2 / 3.6 ctg(a - B) = -11/18