Question

Докажите что при любом натуральном значении n выражение (3n-4)²-n² кратно 8​

Answer 1

(3n - 4)² - n² = (3n - 4 - n)(3n - 4 + n) = (2n - 4)(4n - 4) = 8(n-2)(n-1)

Один из сомножителей делится на 8.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение методом математической индукции.

Базовый шаг: Для n = 1 получим: (3*1 - 4)² - 1² = (3 - 4)² - 1 = (-1)² - 1 = 1 - 1 = 0. Значение равно 0, что является кратным 8.

Предположение индукции: Предположим, что для некоторого k, выражение (3k - 4)² - k² кратно 8.

Индукционный переход: Докажем, что выражение (3(k + 1) - 4)² - (k + 1)² также кратно 8.

(3(k + 1) - 4)² - (k + 1)² = (3k + 3 - 4)² - (k² + 2k + 1) = (3k - 1)² - (k² + 2k + 1) = 9k² - 6k + 1 - k² - 2k - 1 = 8k² - 8k = 8(k² - k).

Мы видим, что выражение 8(k² - k) является кратным 8. Таким образом, предположение индукции подтверждается.

Следовательно, по принципу математической индукции можно сделать вывод, что выражение (3n - 4)² - n² кратно 8 для любого натурального значения n.