Question

Один из корней данного уравнения меньше другого на 2. Найдите коэффициент n и корни уравнения: x²-10x+n=0​

Answer 1

x²-10x+n=0

Первый корень х₁, тогда второй корень х₂=х₁+2

По т. Виета:

$\displaystyle \left [\ {{x_1+x_2=10} \atop {x_1x_2=n}} \right. \\\\x_1+x_2=10\\x_1+x_1+2=10\\2x_1=8\\x_1=4\\x_2=x_1+2=4+2=6\\n=x_1x_2=4\cdot 6=24\\\\Otvet: x_1=4; \;\;x_2=6; \;\;n=24.$

Answer 2

Для уравнения $x^2 - 10x + n = 0$, предположим, что его корни равны $a$ и $b$ (где $a > b$). По условию задачи, мы знаем, что один из корней меньше другого на 2, поэтому можно записать следующее:

$a = b + 2$

Также, мы знаем, что для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, сумма корней равна $-\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $\frac{c}{a}$.

В нашем уравнении $x^2 - 10x + n = 0$, коэффициент $n$ соответствует $c$, а коэффициент перед $x^2$ равен $a = 1$, так как он не указан.

Теперь, используя формулы для суммы и произведения корней, мы можем записать следующее:

Сумма корней $a + b = 10$ (согласно коэффициенту при $x$ в уравнении) Произведение корней $ab = n$ (согласно коэффициенту $n$)

Используем уравнение $a = b + 2$ для подстановки в формулы:

$(b + 2) + b = 10$ (сумма корней) $2b + 2 = 10$ $2b = 10 - 2$ $2b = 8$ $b = 4$

Теперь, найдем $a$:

$a = b + 2$ $a = 4 + 2$ $a = 6$

Таким образом, корни уравнения $x^2 - 10x + n = 0$ равны $x = 4$ и $x = 6$, а коэффициент $n$ равен произведению корней: $n = ab = 4 \times 6 = 24$.