Question

Упростить выражение: sin 4α ∙ cos α − cos 4α ∙ sin α

Answer 1

Решение в приложении

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Тригонометрические тождества:

1. sin(2α) = 2 * sin(α) * cos(α)
2. cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α) = 1 - 2 * sin^2(α)

Применим эти тождества к исходному выражению:

sin(4α) * cos(α) - cos(4α) * sin(α)

Заменим sin(4α) и cos(4α) с использованием тождества 1:

2 * sin(2α) * cos(2α) * cos(α) - (1 - 2 * sin^2(2α)) * sin(α)

Заменим sin(2α) и cos(2α) с использованием тождества 2:

2 * (2 * sin(α) * cos(α)) * (1 - 2 * sin^2(α)) * cos(α) - (1 - 2 * (sin^2(α) - sin^4(α))) * sin(α)

Раскроем скобки:

4 * sin(α) * cos^2(α) * (1 - 2 * sin^2(α)) - (1 - 2 * (sin^2(α) - sin^4(α))) * sin(α)

Упростим выражение в скобках:

4 * sin(α) * (cos^2(α) - 2 * sin^2(α) * cos^2(α)) - (1 - 2 * (sin^2(α) - sin^4(α))) * sin(α)

Снова воспользуемся тождеством cos^2(α) = 1 - sin^2(α):

4 * sin(α) * (1 - sin^2(α) - 2 * sin^2(α) * (1 - sin^2(α))) - (1 - 2 * (sin^2(α) - sin^4(α))) * sin(α)

Упростим выражение в скобках:

4 * sin(α) * (1 - sin^2(α) - 2 * sin^2(α) + 2 * sin^4(α)) - (1 - 2 * (sin^2(α) - sin^4(α))) * sin(α)

Упростим дальше:

4 * sin(α) * (1 - 3 * sin^2(α) + 2 * sin^4(α)) - (1 - 2 * sin^2(α) + 2 * sin^4(α)) * sin(α)

Раскроем скобки:

4 * sin(α) - 12 * sin^3(α) + 8 * sin^5(α) - sin(α) + 2 * sin^3(α) - 2 * sin^5(α)

Теперь сгруппируем слагаемые:

3 * sin(α) - 10 * sin^3(α) + 6 * sin^5(α)

Таким образом, упрощенное выражение равно:

3 * sin(α) - 10 * sin^3(α) + 6 * sin^5(α)