Question

Вычислить площади фигуры,ограниченной графиками функции у=-x^2+9x-8, y=x+4, x=7

Answer 1

$y=-x^2+9x-8\; \; ,\; \; y=x+4\; \; ,\; \; x=7$

Точки пересечения параболы и прямой:

$-x^2+9x-8=x+4\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x^2-8x+12=0\; ,\; \; x_1=6\; ,\; x_2=2$

$S=\int\limits^7_6\, \Big((x+4)-(-x^2+9x-8)\Big)\, dx=\int\limits^7_6\, (x^2-8x+12)\, dx==\\\\=(\frac{x^3}{3}-\frac{8x^2}{2}+12x)\Big |_6^7=\frac{343}{3}-4\cdot 49+84-(\frac{216}{3}-4\cdot 36+72)=\\\\=\frac{127}{3}-52+12=\frac{127}{3}-40=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = -x^2 + 9x - 8$, $y = x + 4$, и $x = 7$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите точки пересечения $y = -x^2 + 9x - 8$ и $y = x + 4$, чтобы найти пределы интегрирования по оси $x$.
2. Затем вычислите интеграл площади между кривыми по отрезку $[x_1, x_2]$.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых $y = -x^2 + 9x - 8$ и $y = x + 4$:

$-x^2 + 9x - 8 = x + 4$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$-x^2 + 9x - 8 - x - 4 = 0$

$-x^2 + 8x - 12 = 0$

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$

$a = -1, b = 8, c = -12$

$D = 8^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-12) = 64 - 48 = 16$

Так как $D > 0$, у уравнения есть два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-8 + 4}{-2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-8 - 4}{-2} = 6$

Таким образом, точки пересечения кривых $y = -x^2 + 9x - 8$ и $y = x + 4$ имеют координаты $(2, 6)$ и $(6, 10)$.

Шаг 2: Вычислим площадь фигуры между кривыми $y = -x^2 + 9x - 8$ и $y = x + 4$ на отрезке $[2, 6]$.

Площадь $S$ между двумя кривыми на отрезке $[a, b]$ можно вычислить как разность интегралов функций:

$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx$

где $f(x)$ - это верхняя функция (в данном случае $f(x) = x + 4$), а $g(x)$ - это нижняя функция (в данном случае $g(x) = -x^2 + 9x - 8$).

Таким образом, площадь фигуры равна:

$S = \int_{2}^{6} ((x + 4) - (-x^2 + 9x - 8)) \, dx$

$S = \int_{2}^{6} (x + 4 + x^2 - 9x + 8) \, dx$