Question

Упростите выражениеsin(a)/1+cos(a) + 1+cos(a)/sin(a)​

Answer 1

Ответ:

2/sin(a)

Объяснение: Перепишем так :  (c/b)+(b/c)=(c^2+b^2)/cb  , где

c=sin(a) b=(1+cos(a))  b^2=1+2cos(a)+cos^2(a)

c^2+b^2=2+2cos(a)=2b   тогда :

(c^2+b^2)/cb=2/c=2/sin(a)

Answer 2

Для упрощения данного выражения, сначала объединим два слагаемых в одну дробь, используя общий знаменатель:

$\frac{sin(a)}{1+cos(a)} + \frac{1+cos(a)}{sin(a)} = \frac{sin^2(a) + (1+cos(a))^2}{sin(a) \cdot (1+cos(a))}$

Теперь упростим числитель:

$sin^2(a) + (1+cos(a))^2 = sin^2(a) + 1 + 2 \cdot cos(a) + cos^2(a) = 1 + 2 \cdot cos(a) + (sin^2(a) + cos^2(a))$

Используя тригонометрическое тождество $sin^2(a) + cos^2(a) = 1$, получим:

$1 + 2 \cdot cos(a) + (sin^2(a) + cos^2(a)) = 1 + 2 \cdot cos(a) + 1 = 2 + 2 \cdot cos(a)$

Теперь вернемся к исходной дроби:

$\frac{2 + 2 \cdot cos(a)}{sin(a) \cdot (1+cos(a))}$

Теперь можно провести упрощение, разделив числитель и знаменатель на $2$:

$\frac{2 + 2 \cdot cos(a)}{sin(a) \cdot (1+cos(a))} = \frac{2(1 + cos(a))}{sin(a) \cdot (1+cos(a))} = \frac{2}{sin(a)}$

Таким образом, упрощенное выражение равно:

$\frac{2}{sin(a)}$

Итак, $\frac{sin(a)}{1+cos(a)} + \frac{1+cos(a)}{sin(a)} = \frac{2}{sin(a)}$.