Question

1)найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии (an) , если : a) а1=3 , d=2; б) а1= –1 , d= 4; в) а1 = 5 , d = –3 г) а1= 6 , d = 1 2) найдите сумму всех натуральных чисел : а) от 1 до 200 б) от 1 до 300 в) от 10 до 150

Answer 1

Задание 1

Сумма арифметической прогрессии считается по формуле:

$S_n = \frac{2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n$

а) $S_{12} = \frac{2\cdot3 + 2(12-1)}{2} \cdot12 = \frac{6+22}{2} \cdot12 = \frac{28}{2} \cdot 12 = 14\cdot 12 = 168$

б) $S_{12} = \frac{2\cdot(-1) + 4(12-1)}{2} \cdot12 = \frac{-2+44}{2} \cdot12 = \frac{42}{2} \cdot 12 = 21\cdot 12 = 252$

в) $S_{12} = \frac{2\cdot5 + (-3)(12-1)}{2} \cdot12 = \frac{10-33}{2} \cdot12 = -\frac{23}{2} \cdot 12 = -11,5 \cdot 12 = -23 \cdot 6 = -138$

г) $S_{12} = \frac{2\cdot6 + 1(12-1)}{2} \cdot12 = \frac{12+11}{2} \cdot12 = \frac{23}{2} \cdot 12 = 11,5\cdot 12 = 23 \cdot 6 = 138$

Задание 2

а) $S_{200} = \frac{2\cdot 1 + 1(200-1)}{2}\cdot 200 = \frac{2 + 199}{2} \cdot 200 = 100,5 \cdot 200 = 20100$

б) $S_{300} = \frac{2\cdot 1 + 1(300-1)}{2} \cdot 300 = \frac{2+299}{2} \cdot 300 = 200,5\cdot 300 = 60150$

в) $S_{150} = \frac{2\cdot 10 + 1(150 - 1)}{2} \cdot 150 = \frac{20+149}{2} \cdot150 = 84,5 \cdot 150 = 12675$

Удачи!

Answer 2

Для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии (an) можно использовать формулу:

Сумма = (n/2) * (a1 + an),

где n - количество членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии, an - последний член прогрессии.

1. а) Для a1 = 3 и d = 2: Сумма первых 12 членов: n = 12. a1 = 3, an = a1 + (n-1) * d = 3 + 11 * 2 = 3 + 22 = 25.

Сумма = (12/2) * (3 + 25) = 6 * 28 = 168.

б) Для a1 = -1 и d = 4: Сумма первых 12 членов: n = 12. a1 = -1, an = a1 + (n-1) * d = -1 + 11 * 4 = -1 + 44 = 43.

Сумма = (12/2) * (-1 + 43) = 6 * 42 = 252.

в) Для a1 = 5 и d = -3: Сумма первых 12 членов: n = 12. a1 = 5, an = a1 + (n-1) * d = 5 + 11 * (-3) = 5 - 33 = -28.

Сумма = (12/2) * (5 + (-28)) = 6 * (-23) = -138.

г) Для a1 = 6 и d = 12: Сумма первых 12 членов: n = 12. a1 = 6, an = a1 + (n-1) * d = 6 + 11 * 12 = 6 + 132 = 138.

Сумма = (12/2) * (6 + 138) = 6 * 144 = 864.

2. а) Сумма всех натуральных чисел от 1 до 200: Сумма = (n/2) * (a1 + an), где n - количество чисел, a1 - первое число, an - последнее число.

n = 200, a1 = 1, an = 200.

Сумма = (200/2) * (1 + 200) = 100 * 201 = 20100.

б) Сумма всех натуральных чисел от 1 до 300: n = 300, a1 = 1, an = 300.

Сумма = (300/2) * (1 + 300) = 150 * 301 = 45150.

в) Сумма всех натуральных чисел от 10 до 150: n = 150 - 10 + 1 = 141, a1 = 10, an = 150.

Сумма = (141/2) * (10 + 150) = 70.5 * 160 = 11280.