Question

Помогите решить ЛНУ 2 порядка y"-2y'- 8y =12sin2x-36cos2x

Answer 1

Дано уравнение:

$y'' - 2y' - 8y = 12 \sin(2x) - 36 \cos(2x)$

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Для этого обнулим правую часть:

$y'' - 2y' - 8y = 0$

Составим и решим характеристическое уравнение:

$\gamma^{2} - 2 \gamma - 8 = 0 \\ \gamma_{1} = - 2, \: \gamma_{2} = 4$

Получили различные действительные корни, поэтому общее решение:

$Y = C_{1} {e}^{ - 2x} + C_{2} {e}^{4x}, \: C_{1}, C_{1} - const$

Частное решение неоднородного уравнения ищем в "обычном" виде:

$ŷ = A \sin(2x) + B \cos(2x)$

Выясним чему равны коэффициенты A и B.

Найдём производные:

$ŷ' = (A \sin(2x) + B \cos(2x) )' = 2A \cos(2x) - 2B \sin(2x) \\ ŷ'' = (A \sin(2x) + B \cos(2x) )'' = - 4A \sin(2x) - 4B \cos(2x)$

Подставим ŷ, ŷ', ŷ'' в левую часть уравнения:

$- 4A \sin(2x) - 4B \cos(2x) - 2(2A \cos(2x) - 2B \sin(2x)) - 8(A \sin(2x) + B \cos(2x) ) = \\ = - 4A \sin(2x) - 4B \cos(2x) - 4A \cos(2x) + 4B \sin(2x)- 8A \sin(2x) - 8B \cos(2x) = \\ = - 12A \sin(2x) - 12B \cos(2x) - 4A \cos(2x) + 4B \sin(2x) = \\ = - 12A \sin(2x)+ 4B \sin(2x)- 12B \cos(2x) - 4A \cos(2x) = \\ = ( - 12A + 4B) \sin(2x) + ( - 4A - 12B) \cos(2x) = 12 \sin(2x) - 36 \cos(2x)$

(После максимальных упрощений приписываем правую часть)

Из последнего равенства составим и решим систему:

$- 12A + 4B = 12, \\ - 4A - 12B = - 36; \\ 3A - B = - 3,\\ A + 3B = 9; \\ 9A - 3B = - 9,\\ + \\ A + 3B = 9; \\ 10A = 0 = > A = 0 = > B = 3$

Таким образом, подобранное частное решение:

$ŷ = 3 \cos(2x)$

Составим общее решение неоднородного уравнения:

$y = Y + ŷ = C_{1} {e}^{ - 2x} + C_{2} {e}^{4x} + 3 \cos(2x)$

Ответ:

$y = C_{1} {e}^{ - 2x} + C_{2} {e}^{4x} + 3 \cos(2x), \: C_{1}, C_{1} - const$

Answer 2

Для решения данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, мы сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения, а затем найдем частное решение неоднородного уравнения.

1. Найдем общее решение однородного уравнения: Для однородного уравнения y" - 2y' - 8y = 0 мы предполагаем решение в виде y = e^(rx). Подставим в уравнение и получим характеристическое уравнение:

r^2 - 2r - 8 = 0

Решим характеристическое уравнение:

(r - 4)(r + 2) = 0

Таким образом, получаем два корня: r₁ = 4 и r₂ = -2.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = C₁ * e^(4x) + C₂ * e^(-2x),

где С₁ и С₂ - произвольные постоянные.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения: Частное решение ищем в виде частного решения для правой части уравнения:

y_p = A * sin(2x) + B * cos(2x),

где А и В - неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.

Теперь подставим y_p в исходное уравнение:

y" - 2y' - 8y = 12sin(2x) - 36cos(2x)

d^2/dx^2 (A * sin(2x) + B * cos(2x)) - 2d/dx(A * sin(2x) + B * cos(2x)) - 8(A * sin(2x) + B * cos(2x)) = 12sin(2x) - 36cos(2x)

Вычислим производные:

A * (-4) * sin(2x) + B * (-4) * cos(2x) - 2 * A * 2 * cos(2x) + 2 * B * 2 * sin(2x) - 8(A * sin(2x) + B * cos(2x)) = 12sin(2x) - 36cos(2x)

Упростим выражение:

-4A * sin(2x) - 4B * cos(2x) - 4A * cos(2x) + 4B * sin(2x) - 8A * sin(2x) - 8B * cos(2x) = 12sin(2x) - 36cos(2x)

(-12A - 12B) * sin(2x) + (-12B + 4A) * cos(2x) = 12sin(2x) - 36cos(2x)

Сравниваем коэффициенты при sin(2x) и cos(2x) и приравниваем к соответствующим коэффициентам в правой части уравнения:

-12A - 12B = 12 (коэффициент при sin(2x))

-12B + 4A = -36 (коэффициент при cos(2x))

Теперь решим эту систему уравнений:

1. -12A - 12B = 12
2. -12B + 4A = -36

Умножим второе уравнение на 3 и сложим с первым:

1. -12A - 12B = 12
2. -12B + 12A = -108

---

markdownCopy code
              0 = -96

Это уравнение не имеет решений, что означает, что система несовместна.

3. Заключение: Таким образом, неоднородное уравнение не имеет частного решения в виде A * sin(2x) + B * cos(2x).

Полное решение исходного уравнения:

y = y_h = C₁ * e^(4x) + C₂ * e^(-2x),

где С₁ и С₂ - произвольные постоянные.