Question

у нескінченні спадній геометричній прогресії з додатними членами.Сума перших трьох дорівнюе 10,5, а сума прогресії 12. Знайдіть перший член прогресії ​

Answer 1

Ответ: b₁=6.

Объяснение:

S₃=10,5    S=12

S₃=b₁+b₁q+b₁q²=b₁*(1+q+q²)=10,5

S=b₁/(1-q)=12   ⇒

b₁=12*(1-q)

S₃=12*(1-q)*(1+q+q²)=12*(1³-q³)=10,5

12*(1³-q³)=10,5  |÷12

1-q³=0,875

q³=1-0,875

q³=0,125

q³=0,5³

q=0,5

b₁=12*(1-0,5)=12*0,5=6.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі нам знадобиться декілька математичних залежностей.

Позначимо перший член геометричної прогресії як "a", а знаменник прогресії як "r" (за умовою задачі р > 0, тобто всі члени прогресії додатні).

Сума перших трьох членів геометричної прогресії може бути виражена так:

S3 = a + ar + ar^2

Також, сума геометричної прогресії може бути виражена так:

S∞ = a / (1 - r)

За умовою задачі, S3 = 10.5 та S∞ = 12.

1. Знаходимо "r": 10.5 = a + ar + ar^2 12 = a / (1 - r)

2. Розв'язуємо систему рівнянь: a + ar + ar^2 = 10.5 a / (1 - r) = 12

Зручним способом для вирішення цієї системи є підстановка одного рівняння в інше:

a = 12 * (1 - r)

Тепер підставимо це значення у перше рівняння:

12 * (1 - r) + 12 * (1 - r) * r + 12 * (1 - r) * r^2 = 10.5

Розкриємо дужки:

12 - 12r + 12r - 12r^2 + 12r^2 - 12r^3 = 10.5

Спростимо:

12 - 12r^3 = 10.5

Помістимо усі терміни зі змінною "r" на одну сторону, а решту на іншу:

12r^3 = 12 - 10.5

Тепер знайдемо значення "r":

r^3 = 1.5 / 12

r^3 = 1 / 8

r = ∛(1 / 8)

r = 1 / 2

Тепер, знаючи значення "r", знайдемо перший член прогресії "a":

a = 12 * (1 - r)

a = 12 * (1 - 1/2)

a = 12 * (1/2)

a = 6

Отже, перший член прогресії дорівнює 6.