Question

Исследуйте функцию и постройте её график y=x³-4x²​

Answer 1

Ответ: відповідь на фото

Объяснение:

Answer 2

Конечно, давайте исследуем функцию y = x³ - 4x² и построим её график.

Функция y = x³ - 4x² является многочленом третьей степени. Для исследования этой функции находим производные, точки экстремумов, интервалы возрастания и убывания, а также значения функции на граничных точках.

1. Найдем производные: Первая производная: y' = 3x² - 8x Вторая производная: y'' = 6x - 8

2. Найдем точки экстремумов, приравняв первую производную к нулю: 3x² - 8x = 0 x(3x - 8) = 0 x = 0 (по кратности 1) или x = 8/3

   Подставим найденные значения x обратно в исходную функцию: При x = 0: y(0) = 0³ - 4 * 0² = 0 При x = 8/3: y(8/3) = (8/3)³ - 4 * (8/3)² = 64/27 - 256/9 = -784/27

3. Найдем интервалы возрастания и убывания: Для этого анализируем знаки первой производной. Когда y' > 0 (первая производная положительна), функция возрастает. Когда y' < 0 (первая производная отрицательна), функция убывает.

   Рассмотрим знаки первой производной в интервалах: Для x < 0: y' < 0 (функция убывает) Для 0 < x < 8/3: y' > 0 (функция возрастает) Для x > 8/3: y' > 0 (функция возрастает)

4. Найдем поведение функции на граничных точках: При x → -∞: y → -∞ При x → +∞: y → +∞

Теперь построим график функции:

На графике видно, что функция имеет локальный максимум в точке (8/3, -784/27) и не имеет глобальных экстремумов. Функция убывает на интервале (-∞, 0) и возрастает на интервалах (0, 8/3) и (8/3, +∞).