Question

Найдите производную сложной функции: 1) 2)sin2x 3) 4)ctg()

Answer 1

1)

$\frac{d}{dx}\left(\left(x^3+2\right)^2\right)=\\\\| f=u^2,\:\:u=\left(x^3+2\right)\\\\=\frac{d}{du}\left(u^2\right)\frac{d}{dx}\left(x^3+2\right)=\\\\=2u^{2-1}\cdot \frac{d}{dx}\left(x^3\right)+\frac{d}{dx}\left(2\right)=\\\\=2u\cdot 3x^{3-1}+0=\\\\= 2u\cdot \:3x^2=\\\\| u=\left(x^3+2\right)\\\\=2\left(x^3+2\right)\cdot \:3x^2=\\\\=6x^2\left(x^3+2\right)$

2)

$\frac{d}{dx}(\sin (2x))=\\\\| f=\sin \left(u\right),\:\:u=2x\\\\=\frac{d}{du}\left(\sin \left(u\right)\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)=\\\\=\cos \left(u\right)\cdot \:2=\\\\| u=2x\\\\= 2\cdot \cos (2x)$

3)

$\frac{d}{dx}(\sqrt{2x-1}) = \\\\|\: f=\sqrt{u},\:\:u=2x-1\\\\=\frac{d}{du}(\sqrt{u})\frac{d}{dx}(2x-1)=\\\\=\frac{d}{du}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)\cdot(\frac{d}{dx}\left(2x\right)-\frac{d}{dx}\left(1\right))=\\\\=\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}-1}\cdot (2-0)=\\\\=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot 2=\\\\=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot2=\\\\| \: u=2x-1\\\\=\frac{1}{2\sqrt{2x-1}}\cdot 2=\\\\=\frac{1\cdot 2}{2\sqrt{2x-1}}=\\\\=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$

4)

$\frac{d}{dx}(\cot \left(3x+\frac{\pi }{2})\right)=\\\\| \: f=\cot (u),\:\:u=(3x+\frac{\pi }{2})\\\\=\frac{d}{du}(\cot (u))\frac{d}{dx}(3x+\frac{\pi }{2})\right)=\\\\=-\frac{1}{sin^2(u)} \cdot (\frac{d}{dx}(3x)+\frac{d}{dx}(\frac{\pi }{2}))=\\\\=-\frac{1}{sin^2(u)} \cdot (3+0)=\\\\=-\frac{1}{sin^2(u)}\cdot \:3=\\\\| \: u=3x+\frac{\pi }{2}\\\\=-\frac{3}{sin^2(3x+\frac{\pi }{2})}=$

$| \: \sin \left(3x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(3x\right)\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)\sin \left(3x\right)=\cos \left(3x\right)+0\\\\=-\frac{3}{\cos ^2\left(3x\right)}$

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти производные данных функций:

1. Пусть у нас есть функция f(x) = x^2. Её производная f'(x) равна 2x.

2. Теперь рассмотрим функцию g(x) = sin(2x). Чтобы найти её производную g'(x), мы воспользуемся правилом цепочки (chain rule). Правило цепочки гласит, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции. В данном случае, внешней функцией является синус, а внутренней – 2x.

Производная синуса равна косинусу: d/dx(sin(u)) = cos(u), где u – это аргумент синуса.

Теперь возьмем производную внутренней функции 2x по x: d/dx(2x) = 2.

Используя правило цепочки, производная g(x) = sin(2x) равна: g'(x) = cos(2x) * 2 = 2cos(2x).

3. Пусть h(x) = ctg(x), где ctg(x) обозначает котангенс (секанс / тангенс). Тогда производная h'(x) будет: h'(x) = d/dx(ctg(x)).

Для вычисления производной котангенса можно воспользоваться определением ctg(x) = 1 / tan(x), а также производной тангенса tan'(x) = 1 / cos^2(x).

Итак, h'(x) = d/dx(1 / tan(x)) = -1 / sin^2(x).

4. Я не уверен, что вы имели в виду в четвертом пункте. Если у вас есть какая-то функция внутри ctg(), например, ctg(2x), то вы можете использовать те же шаги, что и в пункте 3, чтобы найти производную.

Пожалуйста, уточните ваш вопрос или уточните, что именно вы хотите найти в четвертом пункте, и я буду рад помочь вам дальше.