Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной параболой y=8-x^2 и прямой y=4

Answer 1

Ответ:

32/3

Объяснение:

Сначала найдём крайние точки фигуры, это будут точки пересечения графиков: $8-x^2=4 => x^2=4 => x=+-2$.

Парабола будет выше, чем прямая, значит:

$S=\int\limits^{2}_{-2} {(8-x^2-4)} \, dx = \int\limits^{2}_{-2} {(4-x^2)} \, dx = 4x-\frac{x^3}{3} [-2;2]= 4*2-\frac{2^3}{3}-(4*(-2)-\frac{(-2)^3}{3})=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y=8-x^2 и прямой y=4, необходимо найти точки их пересечения, а затем найти площадь под кривой параболы между этими точками и прямой y=4.

Для начала найдем точки пересечения этих двух функций, то есть значения x, при которых y обеих функций равны между собой:

y = 8 - x^2 y = 4

Приравняем выражения для y и решим уравнение:

8 - x^2 = 4

Теперь перенесем все в левую сторону:

x^2 = 8 - 4

x^2 = 4

Теперь избавимся от квадрата, взяв квадратный корень с обеих сторон:

x = ±√4

x = ±2

Таким образом, получаем две точки пересечения: (2, 4) и (-2, 4).

Теперь вычислим площадь фигуры между параболой и прямой. Для этого нам понадобится определенный интеграл. Поскольку мы ищем площадь между кривой и осью x в пределах от -2 до 2, интеграл можно записать следующим образом:

Площадь = ∫(от -2 до 2) [8 - x^2 - 4] dx

Площадь = ∫(от -2 до 2) [4 - x^2] dx

Теперь возьмем интеграл:

Площадь = [4x - (x^3)/3] от -2 до 2

Площадь = [4(2) - (2^3)/3] - [4(-2) - (-2^3)/3]

Площадь = [8 - 8/3] - [-8 + 8/3]

Площадь = 8/3 + 8/3

Площадь = 16/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой y=8-x^2 и прямой y=4, равна 16/3 или приблизительно 5.33 квадратных единиц.