Question

Решите пожалуйста 1)2sin(2x+п/3)-√6sinx=sin2x+√3 2)2sin²x+√3cosx=√6cosx(x-п/4)

Answer 1

Ответ:

2sin(2x+(π/3))=2·(sin2x·cos(π/3)+cos2x·sin(π/3))=2·((1/2)sin2x + (√3/2)·cos2x)=sin2x+√3cos2xУравнение примет вид:

sin2x+√3cos2x-3cosx=sinx2x-√3

или

√3cos2x-3cosx= -√3

√3cosx-(2cos²x-1)=1

√3cosx-2cos²x=0

cosx·(√3-2cosx)=0

cosx=0   ⇒ x= (π/2)+πn, n ∈ Z

или

cosx=√3/2⇒ x=±(π/6)+2πk,   k∈Z

О т в е т. πn,    (π/2)+πn ,   ±(π/6)+2πk,  n,  k∈Z 

Отрезку [-4π; -5π/2] принадлежат корни:-5π/2;-7π/2 (π/6)-4π=-23π/6

Объяснение:

Answer 2

Для решения данных уравнений, давайте приступим к каждому из них по очереди:

1. Уравнение: 2sin(2x+π/3) - √6sinx = sin2x + √3

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить все синусы через один синус:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь подставим это в уравнение:

2sin(2x + π/3) - √6sinx = 2sin(x)cos(x) + √3

Далее используем тригонометрические тождества, чтобы свести все к одной переменной:

2(sin(x)cos(x + π/6) - √6sinx) = 2sin(x)cos(x) + √3

Теперь вынесем общий множитель 2sinx:

2sinx(cos(x + π/6) - √3) = 2sinx(cosx + √3)

Делаем предположение, что sinx ≠ 0 (потому что в противном случае sinx = 0 и уравнение превращается в 0 = 0, что не даёт никакой информации).

Теперь убираем общий множитель sinx:

cos(x + π/6) - √3 = cosx + √3

Теперь переносим все, что содержит x, на одну сторону, а остальное на другую:

cos(x + π/6) - cosx = 2√3

Далее воспользуемся формулой разности косинусов:

cosA - cosB = -2sin((A + B)/2)sin((A - B)/2)

Подставляем A = x + π/6 и B = x:

-2sin((x + π/6 + x)/2)sin((x + π/6 - x)/2) = 2√3

Упрощаем:

-2sin(3x/2 + π/12)sin(π/12) = 2√3

Теперь делим обе стороны на -2sin(π/12):

sin(3x/2 + π/12) = -√3

Теперь находим обратный синус от обеих сторон уравнения:

3x/2 + π/12 = arcsin(-√3)

Теперь решим уравнение относительно x:

3x/2 = arcsin(-√3) - π/12

x = (2/3)(arcsin(-√3) - π/12)

Убедитесь, что данное значение удовлетворяет начальному уравнению, так как мы делали предположение, что sinx ≠ 0.

2. Уравнение: 2sin²x + √3cosx = √6cosx(x - π/4)

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

2sin²x - √3cosx - √6cosx(x - π/4) = 0

Теперь заметим, что у нас здесь квадратичное уравнение относительно sinx:

2sin²x - (√3 + √6cos(x - π/4))sinx - √6cos(x - π/4) = 0

Теперь обозначим sinx за t:

2t² - (√3 + √6cos(x - π/4))t - √6cos(x - π/4) = 0

Это уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac

где a = 2, b = -(√3 + √6cos(x - π/4)), c = -√6cos(x - π/4)

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень. Если D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня.

Однако, чтобы решить уравнение полностью, необходимо знание значения cos(x - π/4) или других ограничений на x. Без этой информации решение невозможно.

Пожалуйста, уточните условие задачи или предоставьте дополнительные сведения, чтобы я мог предоставить полное решение уравнения.