Question

У квадрат зі стороною 8 см вписано квадрат, вершинами якого є середини сторін заданого квадрата. У другий квадрат у такий же спосіб вписано третій квадрат і т.д. Знайдіть площу шостого квадрата.​

Answer 1

См. рис.

$b_1=8$ см.

По т. Пифагора сторона второго квадрата $b_2=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt2$ см

По т. Пифагора сторона третьего квадрата

$b_3=\sqrt{(2\sqrt2)^2+(2\sqrt2)^2}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4$ см

Очевидно, что значения длин сторон квадратов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=\frac{\sqrt2}2=\frac1{\sqrt2}$

Тогда сторона шестого квадрата

$b_6=b_1\cdot q^5=8\cdot\left(\frac1{\sqrt2}\right)^5=8\cdot\frac1{4\sqrt2}=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2$ см.

Answer 2

Щоб знайти площу шостого квадрата, спочатку розглянемо описаний процес утворення внутрішніх квадратів.

Починаючи з початкового квадрата зі стороною 8 см, внутрішні квадрати утворюються наступним чином: кожний наступний квадрат є вписаним у попередній квадрат, його сторони проходять через середини сторін попереднього квадрата.

Оскільки на кожному кроці новий квадрат утворюється вписуванням у попередній квадрат і сторона кожного наступного квадрата дорівнює половині сторони попереднього квадрата, ми можемо скористатися рекурсивним підходом для знаходження площі шостого квадрата.

Рекурсивний алгоритм для знаходження площі квадрату може мати такий вигляд:

1. Приймаємо вхідну сторону квадрата.
2. Якщо це перший квадрат, то його площа дорівнює квадрату його сторони: S = side^2.
3. Якщо це не перший квадрат, то площа поточного квадрата дорівнює площі попереднього квадрата, помноженому на 1/4: S = previous_area * (1/4).

Застосуємо цей алгоритм для знаходження площі шостого квадрата:

1. Початкова сторона квадрата: 8 см.
2. Площа першого квадрата: S1 = 8^2 = 64 см^2.
3. Площа другого квадрата: S2 = S1 * (1/4) = 64 * (1/4) = 16 см^2.
4. Площа третього квадрата: S3 = S2 * (1/4) = 16 * (1/4) = 4 см^2.
5. Площа четвертого квадрата: S4 = S3 * (1/4) = 4 * (1/4) = 1 см^2.
6. Площа п'ятого квадрата: S5 = S4 * (1/4) = 1 * (1/4) = 0.25 см^2.
7. Площа шостого квадрата: S6 = S5 * (1/4) = 0.25 * (1/4) = 0.0625 см^2.

Отже, площа шостого квадрата дорівнює 0.0625 см^2.