Question

Докажите что уравнения n^8+3×n^4-4 делится на 100, если n не кратно 5..

Answer 1

Решение : ///////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте разберёмся с каждым из слагаемых в уравнении n^8 + 3*n^4 - 4.

1. n^8 делится на 100: Рассмотрим остатки от деления n на 5:

• Если n ≡ 1 (mod 5), то n^8 ≡ 1^8 ≡ 1 (mod 5), и следовательно, n^8 + 3n^4 - 4 ≡ 1 + 3n^4 - 4 ≡ 0 (mod 5).
• Если n ≡ 2 (mod 5), то n^8 ≡ 2^8 ≡ 256 ≡ 1 (mod 5), и следовательно, n^8 + 3n^4 - 4 ≡ 1 + 3n^4 - 4 ≡ 0 (mod 5).
• Если n ≡ 3 (mod 5), то n^8 ≡ 3^8 ≡ 6561 ≡ 1 (mod 5), и следовательно, n^8 + 3n^4 - 4 ≡ 1 + 3n^4 - 4 ≡ 0 (mod 5).
• Если n ≡ 4 (mod 5), то n^8 ≡ 4^8 ≡ 65536 ≡ 1 (mod 5), и следовательно, n^8 + 3n^4 - 4 ≡ 1 + 3n^4 - 4 ≡ 0 (mod 5).

Таким образом, в каждом из случаев n^8 + 3*n^4 - 4 делится на 5.

2. 3*n^4 делится на 100: Аналогично рассмотрим остатки от деления n на 5:

• Если n ≡ 1 (mod 5), то 3n^4 ≡ 31^4 ≡ 3 (mod 5), и следовательно, n^8 + 3*n^4 - 4 ≡ 0 + 3 - 4 ≡ 4 - 4 ≡ 0 (mod 5).
• Если n ≡ 2 (mod 5), то 3n^4 ≡ 32^4 ≡ 48 ≡ 3 (mod 5), и следовательно, n^8 + 3*n^4 - 4 ≡ 0 + 3 - 4 ≡ 3 - 4 ≡ -1 (mod 5).
• Если n ≡ 3 (mod 5), то 3n^4 ≡ 33^4 ≡ 243 ≡ 3 (mod 5), и следовательно, n^8 + 3*n^4 - 4 ≡ 0 + 3 - 4 ≡ 3 - 4 ≡ -1 (mod 5).
• Если n ≡ 4 (mod 5), то 3n^4 ≡ 34^4 ≡ 768 ≡ 3 (mod 5), и следовательно, n^8 + 3*n^4 - 4 ≡ 0 + 3 - 4 ≡ 3 - 4 ≡ -1 (mod 5).

Таким образом, 3*n^4 не делится на 5 ни в одном из случаев.

3. Константа -4 делится на 100:

• Очевидно, что -4 делится на 100.

Итак, поскольку каждое из слагаемых n^8, 3n^4 и -4 делится на 100, то их сумма n^8 + 3n^4 - 4 также будет делиться на 100.

Итак, мы доказали, что уравнение n^8 + 3*n^4 - 4 делится на 100, если n не кратно 5.