Question

Решить дифференциальное уравнение, найти общее решение: y'+y= x

Answer 1

$y'+y= x\sqrt{y}$

Решение уравнения будем искать в виде произведения ненулевых функций:

$y=uv$

Тогда:

$y'=u'v+v'u$

Подставляем в исходное уравнение:

$u'v+v'u+uv= x\sqrt{uv}$

Пусть первое и третье слагаемое левой части в сумме дают ноль:

$u'v+uv=0$

$u'+u=0$

$\dfrac{du}{dx} =-u$

$\dfrac{du}{u} =-dx$

$\int\dfrac{du}{u} =-\int dx$

$\ln|u| =-x$

$u =e^{-x}$

Тогда второе слагаемое левой части равно правой части:

$v'u= x\sqrt{uv}$

$v'= x\sqrt{\dfrac{v}{u} }$

Подставим найденное значение u:

$v'= x\sqrt{\dfrac{v}{e^{-x}} }$

$\dfrac{dv}{dx} = x\sqrt{ve^x }$

$\dfrac{dv}{\sqrt{v}} = x\sqrt{e^x }dx$

$2\cdot\dfrac{dv}{2\sqrt{v}} = xe^{\frac{x}{2} }dx$

$2\int\dfrac{dv}{2\sqrt{v}} = \int xe^{\frac{x}{2} }dx$

В левой части табличный интеграл, правую часть интегрируем по частям следующим образом:

$\int xe^{\frac{x}{2} }dx=\left=2xe^{\frac{x}{2}}-2e^{\frac{x}{2}}dx=2xe^{\frac{x}{2}}-2\cdot2e^{\frac{x}{2}}=2e^{\frac{x}{2}}(x-2)+C$

$2\sqrt{v} =2e^{\frac{x}{2}}(x-2)+2C$

$\sqrt{v} =e^{\frac{x}{2}}(x-2)+C$

$v =\left(e^{\frac{x}{2}}(x-2)+C\right)^2$

Искомая функция:

$y=uv=e^{-x}\left(e^{\frac{x}{2}}(x-2)+C\right)^2$

Answer 2

$y'+y=x\sqrt{y}~~~~|:2\sqrt{y}\\ \\ \dfrac{y'}{2\sqrt{y}}+\dfrac{\sqrt{y}}{2}=\dfrac{x}{2}$

Введём замену $\sqrt{y}=t$, тогда получаем

$t'+\dfrac{t}{2}=\dfrac{x}{2}$

Умножим обе части уравнения на $e^{\int \frac{dx}{2}}=e^{\frac{x}{2}}$, получим

$t'\cdot e^{\frac{x}{2}}+\dfrac{t}{2}\cdot e^{\frac{x}{2}}=\dfrac{x}{2}\cdot e^{\frac{x}{2}}\\ \\ \\ \Big(t\cdot e^{\frac{x}{2}}\Big)'=\dfrac{x}{2}\cdot e^{\frac{x}{2}}\\ \\ \displaystyle t\cdot e^{\frac{x}{2}}=\int \dfrac{x}{2}e^{\frac{x}{2}}dx=\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}u=x;~~~ du=dx\\ \\ dv=e^{\frac{x}{2}}dx;~~~ v=2e^{\frac{x}{2}}\end{array}\right|=2xe^{\frac{x}{2}}-2\int e^{\frac{x}{2}}dx=\\ \\ \\ =2xe^{\frac{x}{2}}-4e^{\frac{x}{2}}+C=2e^{\frac{x}{2}}\Big(x-2\Big)+C$

$t=2x-4+Ce^{-\frac{x}{2}}$

Выполним обратную замену

$\sqrt{y}=2x-4+Ce^{-\frac{x}{2}}\\ \\ \boxed{y=\left(2x-4+Ce^{-\frac{x}{2}}\right)^2}$

Answer 3

Для решения дифференциального уравнения первого порядка $y' + y = x$, мы можем использовать метод интегрирования постоянных. Сначала перепишем уравнение в стандартной форме для линейных дифференциальных уравнений:

$y' + y = x$

Теперь мы можем использовать метод интегрирования постоянных. Сначала найдем общее решение однородного уравнения $y' + y = 0$, а затем найдем частное решение для неоднородного уравнения $y' + y = x$.

Шаг 1: Решение однородного уравнения $y' + y = 0$

Для однородного уравнения, $y' + y = 0$, мы ищем решение вида $y_h = e^{-\int 1\,dx}$. Таким образом, $y_h = Ce^{-x}$, где $C$ - это произвольная постоянная.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения $y' + y = x$

Чтобы найти частное решение, мы предполагаем, что решение имеет вид $y_p = Ax + B$. Подставим $y_p$ в уравнение $y' + y = x$:

$y' + y = A + Ax + B = x$

Теперь приравняем коэффициенты при соответствующих степенях $x$ и решим систему уравнений:

A = 1, \\ A + B = 0. \end{cases}\] Решая эту систему уравнений, получим \(A = 1\) и \(B = -1\). Шаг 3: Найдем общее решение Теперь, зная решение однородного уравнения и частное решение, общее решение будет являться их суммой: \[y = y_h + y_p = Ce^{-x} + x - 1\] где \(C\) - произвольная постоянная. Это общее решение дифференциального уравнения \(y' + y = x\).