Question

Срочно! При якому значенні х значення виразів 2х, х-5, х-17 будуть послідовними членами геометричної прогресії?

Answer 1

Відповідь: 25

Пояснення:

Кожний член геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному сусідніх членів. Складемо відповідне рівняння за умовою та розв'яжемо його:

$x - 5 = \sqrt{2x(x - 17)} \\ {(x - 5)}^{2} = 2x(x - 17) \\ {x}^{2} - 10x + 25 = 2 {x}^{2} - 34x \\ {x}^{2} - 24x - 25 = 0$

ОДЗ: х-5≥0, х≥5 (це випливає з того, що цей вираз дорівнює невід'ємному арифметичному кореню)

За теоремою Вієта

{ х1+х2= -b= 24

{ x1x2= c= -25

x1= -1 - сторонній корінь, x2= 25

Answer 2

Щоб вирази 2х, х-5 і х-17 стали послідовними членами геометричної прогресії, необхідно, щоб відношення будь-яких сусідніх членів було однаковим.

Нехай 2х - перший член (а₁), х-5 - другий член (а₂) і х-17 - третій член (а₃) геометричної прогресії.

Тоді маємо: Відношення другого члена до першого: а₂ / а₁ = (х-5) / (2х)

Відношення третього члена до другого: а₃ / а₂ = (х-17) / (х-5)

Оскільки всі ці вирази є членами однієї геометричної прогресії, то їх відношення має бути однаковим: (х-5) / (2х) = (х-17) / (х-5)

Тепер, щоб знайти значення х, розв'яжемо це рівняння:

(х-5)(х-5) = (х-17)(2х)

Розкриємо дужки та спростимо рівняння:

х² - 10х + 25 = 2х² - 17х

Перенесемо всі члени в одну частину:

2х² - 17х - (х² - 10х + 25) = 0

2х² - 17х - х² + 10х - 25 = 0

х² - 7х - 25 = 0

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня:

х = [7 ± √(7² - 4 * 1 * (-25))] / 2

х = [7 ± √(49 + 100)] / 2

х = [7 ± √149] / 2

Таким чином, ми отримали два рішення для х:

1. х = (7 + √149) / 2
2. х = (7 - √149) / 2

Ці два значення х дозволять виразам 2х, х-5 і х-17 стати послідовними членами геометричної прогресії.