Question

Докажите что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей

Answer 1

Ответ:

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию |q| < 1.

При неограниченном возрастании n сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к числу , которое называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, достаточно показать, что каждый следующий элемент прогрессии меньше предыдущего.

Пусть у нас есть геометрическая прогрессия с первым элементом a и знаменателем q. Тогда общий вид прогрессии можно записать следующим образом:

a, a * q, a * q^2, a * q^3, ...

Каждый следующий элемент прогрессии получается умножением предыдущего элемента на знаменатель q.

Чтобы доказать убывание прогрессии, нужно показать, что каждый следующий элемент меньше предыдущего, т.е. что:

a * q^1 < a, a * q^2 < a * q^1, a * q^3 < a * q^2, и так далее.

Распишем это более детально:

a * q^1 < a, a * q^2 < a * q^1, (a * q^1) * q < a * q^1, a * q < a.

Из последнего неравенства видно, что для убывания геометрической прогрессии должно выполняться условие:

|q| < 1.

Таким образом, если знаменатель q геометрической прогрессии по модулю меньше единицы (|q| < 1), каждый следующий элемент будет меньше предыдущего, и прогрессия будет бесконечно убывающей.