Question

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка: y''+1/x *y'=x^2

Answer 1

$y''+\dfrac{1}{x}y'=x^2\\ x*y''+1*y'=x^3\\ x*(y')'+(x)'*y'=x^3\\ (xy')'_x=x^3\\ xy'=\dfrac{x^4}{4}+C_1\\y'=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{C_1}{x} \\y=\dfrac{x^4}{16}+C_1lnx+C_2$

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения второго порядка, необходимо решить его характеристическое уравнение и использовать метод вариации постоянных. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

1. Найдем общее решение характеристического уравнения y'' + (1/x) * y' = 0:

Пусть y = x^m. Тогда y' = mx^(m-1) и y'' = m(m-1)x^(m-2).

Подставим эти значения в исходное уравнение:

m(m-1)x^(m-2) + (1/x) * mx^(m-1) = 0.

После упрощения получим характеристическое уравнение:

m(m-1) + m = 0, m^2 - m + m = 0, m^2 = 0.

Таким образом, характеристическое уравнение имеет корень m = 0.

2. Найдем второе решение характеристического уравнения, используя метод вариации постоянных. Предположим, что второе решение имеет вид y = v(x), где v(x) - неизвестная функция.

Тогда y' = v'(x) и y'' = v''(x). Подставим эти значения в исходное уравнение:

v''(x) + (1/x) * v'(x) = 0.

3. Теперь решим уравнение для функции v(x):

v''(x) + (1/x) * v'(x) = 0.

Это уравнение можно решить методом вариации постоянных или заменой переменных. Мы воспользуемся методом замены переменных:

Пусть z = v'(x). Тогда v''(x) = z'.

Подставим это в уравнение:

z' + (1/x) * z = 0.

Это уравнение разделяется переменными:

dz/z = - (1/x) dx.

Интегрируем обе стороны:

∫(dz/z) = ∫(- (1/x) dx).

ln|z| = - ln|x| + C, где C - постоянная интегрирования.

ln|z| + ln|x| = C.

ln|xz| = C.

Используем экспоненциальную функцию, чтобы избавиться от логарифма:

xz = e^C.

Теперь e^C - это просто новая постоянная, обозначим ее за K:

xz = K.

Теперь найдем функцию v(x) исходя из z = v'(x):

v'(x) = K/x.

Интегрируем обе стороны:

∫(v'(x) dx) = ∫(K/x dx).

Таким образом, получим:

v(x) = K * ln|x| + C1, где C1 - постоянная интегрирования.

4. Теперь найдем общее решение исходного дифференциального уравнения y'' + (1/x) * y' = x^2:

y(x) = y_h(x) + y_p(x),

где y_h(x) - общее решение однородного уравнения (решение характеристического уравнения) и y_p(x) - частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения (решение характеристического уравнения) имеет вид:

y_h(x) = C2 * x^0 = C2,

где C2 - постоянная.

Частное решение неоднородного уравнения y_p(x) = v(x):

y_p(x) = K * ln|x| + C1.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения y'' + (1/x) * y' = x^2:

y(x) = C2 + K * ln|x| + C1.

Где C1, C2 и K - произвольные константы.