Question

Решить уравнение по теореме Виета Х⁴-17х²+16=0

Answer 1

Ответ:

х⁴-17х²+16=0 чтобы решить уравнение надо сделать замену х²=у, т. е. корнями будут х₁₂=±√у₁; х₃₄=±√у₂, отсюда сумма корней равна х₁+х₂+х₃+х₄=√у₁+(-√у₁)+√у₃+(-√у₄)=0 Эти вычисления совершенно не нужны, просто для души сделаем замену х²=у, получим у²-17у+16=0 (по теореме Виета в уравнении вида x²+px+q=0 сумма корней равна х₁+х₂=-р произведение х₁*х₂= q) у₁+у₂=17 у₁*у₂=16, следовательно у₁=1;у₂=16 х²=1 х₁=1х₂=-1 х²=16 х₃=4х₄=-4, следовательно, х₁+х₂+х₃+х₄=1-1+4-4=0

Answer 2

Данное уравнение можно решить с использованием подстановки и теоремы Виета.

Пусть y = x². Тогда уравнение примет вид: y² - 17y + 16 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с использованием теоремы Виета.

Для квадратного уравнения вида ay² + by + c = 0, теорема Виета утверждает, что сумма корней равна -b/a, а произведение корней равно c/a.

В данном случае: a = 1, b = -17, c = 16.

Сумма корней y₁ и y₂ равна -b/a = 17/1 = 17. Произведение корней y₁ и y₂ равно c/a = 16/1 = 16.

Теперь у нас есть два корня y₁ и y₂. Чтобы найти соответствующие корни исходного уравнения x, мы извлечем квадратный корень из каждого из корней y.

y₁ = x²₁, y₂ = x²₂.

Таким образом: x₁ = √y₁, x₂ = -√y₁, x₃ = √y₂, x₄ = -√y₂.

Подставляя значения корней y₁ и y₂, получаем:

x₁ = √y₁ = √x²₁, x₂ = -√y₁ = -√x²₁, x₃ = √y₂ = √x²₂, x₄ = -√y₂ = -√x²₂.

Таким образом, решения исходного уравнения Х⁴ - 17Х² + 16 = 0:

x₁ = √x²₁, x₂ = -√x²₁, x₃ = √x²₂, x₄ = -√x²₂.

Здесь x²₁ и x²₂ - это корни уравнения y² - 17y + 16 = 0, которые можно найти решив это уравнение как квадратное.