Question

Знайдіть знаменник геометричної прогресії і суму семи перших її членів, якщо перший і третій члени відповідно дорівнюють 27 і 3, а всі члени її додатні.

Answer 1

Ответ:

знаменник геометричної прогресії $q=\frac{1}{3}$

суму семи перших членів$S_7=\frac{1093}{27}$

Объяснение:

$b_1=27; b_3=3; b_n>0$

$b_2>0;b_1>-;q=b_2:b_1>0$

$b_n=b_1*q^{n-1}$

$b_3=b_1*q^{3-1}=b_1*q^2$

$27*q^2=3$

$q^2=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}=(\frac{1}{3})^2$

$q=\frac{1}{3}$

$S_n=b_1*\frac{1-q^n}{1-q}$

$S_7=27*\frac{1-(\frac{1}{3})^7}{1-\frac{1}{3}}=$

$27*\frac{3^7-1}{3^7}:\frac{3-1}{3}=$

$\frac{27*2186*3}{2187*2}=\frac{1*1093*1}{27*1}=\frac{1093}{27}$

Answer 2

Знаменник геометричної прогресії (ЗГП) можна знайти, використовуючи відомі перший і третій члени. ЗГП визначається відношенням між будь-якими двома сусідніми членами послідовності.

Згідно з умовою, перший член (a₁) дорівнює 27, а третій член (a₃) дорівнює 3.

Відношення ЗГП: r = a₃ / a₁

r = 3 / 27 = 1/9

Тепер, щоб знайти суму семи перших членів геометричної прогресії, можемо скористатися формулою суми n членів ЗГП:

S₇ = a₁ * (r⁷ - 1) / (r - 1)

де S₇ - сума семи перших членів, n = 7 - кількість членів у сумі.

Підставимо відповідні значення:

S₇ = 27 * ((1/9)⁷ - 1) / (1/9 - 1) S₇ = 27 * ((1/4782969) - 1) / (1/9 - 1) S₇ = 27 * ((1/4782969) - 1) / (-8/9) S₇ = 27 * ((1/4782969) - 1) * (-9/8) S₇ = 27 * ((1/4782969) - 4782969/4782969) * (-9/8) S₇ = 27 * ((1 - 4782969)/4782969) * (-9/8) S₇ = 27 * (-4782968/4782969) * (-9/8) S₇ = 27 * 9/8 S₇ = 243/8

Таким чином, сума семи перших членів геометричної прогресії дорівнює 243/8 або 30.375.