Question

Знайдіть знаменник геометричної прогресії і суму семи перших її членів, якщо перший і третій члени відповідно дорівнюють 27 і 3, а всі члени її додатні.

Answer 1

Ответ:

знаменник геометричної прогресії $q=\frac{1}{3}$

суму семи перших членів$S_7=\frac{1093}{27}$

Объяснение:

$b_1=27; b_3=3; b_n>0$

$b_2>0;b_1>-;q=b_2:b_1>0$

$b_n=b_1*q^{n-1}$

$b_3=b_1*q^{3-1}=b_1*q^2$

$27*q^2=3$

$q^2=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}=(\frac{1}{3})^2$

$q=\frac{1}{3}$

$S_n=b_1*\frac{1-q^n}{1-q}$

$S_7=27*\frac{1-(\frac{1}{3})^7}{1-\frac{1}{3}}=$

$27*\frac{3^7-1}{3^7}:\frac{3-1}{3}=$

$\frac{27*2186*3}{2187*2}=\frac{1*1093*1}{27*1}=\frac{1093}{27}$

Answer 2

Для знаходження знаменника (q) геометричної прогресії та суми перших її семи членів можна скористатися наступними формулами:

1. Знаменник геометричної прогресії (q): Відношення кожного наступного члена до попереднього називається знаменником геометричної прогресії. Якщо перший член прогресії - a₁, а третій член - a₃, то: q = a₃ / a₁

2. Сума перших n членів геометричної прогресії: Сума перших n членів геометричної прогресії обчислюється за формулою: Sₙ = a₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1)

Тепер, маючи дані про перший (a₁) і третій (a₃) члени, можемо знайти знаменник (q) і суму семи перших членів (S₇):

a₁ = 27 a₃ = 3

1. Знаменник геометричної прогресії (q): q = a₃ / a₁ q = 3 / 27 q = 1 / 9

2. Сума семи перших членів (S₇): S₇ = a₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1) S₇ = 27 * ((1/9)⁷ - 1) / (1/9 - 1)

Обчислимо значення:

(1/9)⁷ ≈ 1.387e-5 (округлено до 3 знаків після коми)

S₇ ≈ 27 * (1.387e-5 - 1) / (-8/9) S₇ ≈ 27 * (-0.99998613) / (-8/9) S₇ ≈ -27 * (-1.24998266) S₇ ≈ 33.74958518

Отже, знаменник геометричної прогресії q = 1/9, а сума семи перших членів S₇ ≈ 33.75.