Question

Знайдіть суму перших шести членів геометричної прогресії, якщо b5 = 56, b8 = 448

Answer 1

$b5 = b1 \: {q}^{4} \\b8 =b1 \: {q}^{7} \\ b1 \: {q}^{4} = 56 \\ b1 \: {q}^{7} = 448 \\ {q}^{3} = \frac{448}{56} = 8 \\ q = 2 \\ b1 = 56 \div 16 = 3.5 \\ s5 = \frac{b1( {q}^{5} - 1) }{q - 1} = \\ = \frac{3.5(32 - 1)}{2 - 1} = 108.5$

Answer 2

Для знаходження суми перших шести членів геометричної прогресії нам потрібно знайти перший член (b1) та знайти знаменник прогресії (q).

Ми знаємо, що b5 = 56 та b8 = 448. Використовуючи цю інформацію, можемо побудувати систему рівнянь:

Система рівнянь:

1. b5 = b1 * q^4 = 56
2. b8 = b1 * q^7 = 448

Для знаходження b1 та q, давайте спростимо обидва рівняння:

1. q^4 = 56 / b1
2. q^7 = 448 / b1

Тепер поділимо друге рівняння на перше, щоб усунути b1: (q^7) / (q^4) = (448 / b1) / (56 / b1) q^3 = 8

Тепер, щоб знайти q, піднесемо обидві сторони до степені 1/3: q = 8^(1/3) = 2

Тепер ми знаємо значення q, можемо знайти b1, використовуючи перше рівняння: b1 * q^4 = 56 b1 * 2^4 = 56 b1 * 16 = 56 b1 = 56 / 16 b1 = 3.5

Отже, перший член геометричної прогресії b1 = 3.5 і знаменник прогресії q = 2.

Тепер, щоб знайти суму перших шести членів, використаємо формулу для суми геометричної прогресії:

Сума n членів геометричної прогресії: S_n = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)

де n = 6 (6 членів), b1 = 3.5 і q = 2:

S_6 = 3.5 * (1 - 2^6) / (1 - 2) S_6 = 3.5 * (1 - 64) / (1 - 2) S_6 = 3.5 * (-63) / (-1) S_6 = 220.5

Отже, сума перших шести членів геометричної прогресії дорівнює 220.5.