Question

60 Баллов!! Знайти два послідновних натуральних числа, якщо сума їхніх квадратів на 73 більша, за їхній добуток.

Answer 1

Первое число - х, следующее за ним (х+1)

составим и решим уравнение

$(x^2+(x+1)^2)-(x(x+1))=73\\2x^2+2x+1-x^2-x=73\\x^2+x-73=0\\(x+9)(x-8)=0\\x_1=-9\: \: \: \: \:x_2=8$

-9+1=-8 - не подходит

8+1=9

Ответ: 8 и 9

Answer 2

Давайте позначимо два послідовні натуральних числа як "n" та "n+1". За умовою задачі, ми маємо рівняння:

n^2 + (n+1)^2 > n*(n+1) + 73

Спростимо це рівняння:

n^2 + (n^2 + 2n + 1) > n^2 + n + 73

Тепер об'єднаємо однакові члени на лівому боці:

2n^2 + 2n + 1 > n^2 + n + 73

Розподілимо все на 2 та перенесемо все на один бік:

2n^2 + n - 72 > 0

Тепер розв'яжемо квадратне рівняння:

n = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

де a = 2, b = 1, c = -72.

n = (-(1) ± √(1^2 - 4(2)(-72))) / 2(2) n = (-1 ± √(1 + 576)) / 4 n = (-1 ± √577) / 4

Таким чином, ми отримали два розв'язки для "n". Перший розв'язок:

n = (-1 + √577) / 4 ≈ 6.42

Другий розв'язок:

n = (-1 - √577) / 4 ≈ -4.92

Оскільки ми шукаємо натуральні числа, "n" не може бути менше 1. Тому єдиний припустимий варіант - це коли "n" приблизно 6. Тепер можемо знайти наступне натуральне число:

n + 1 ≈ 6 + 1 ≈ 7

Отже, два послідовні натуральних числа, що задовольняють умові задачі, це 6 і 7. Перевіримо:

6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85 6 * 7 + 73 = 42 + 73 = 115

Справді, сума квадратів 6 і 7 є більшою за їх добуток плюс 73.