Question

Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 9 км/ч.

Answer 1

Ответ:

2 (км/час) - скорость течения реки

Объяснение:

х - скорость течения реки

9+х - скорость лодки по течению

9-х - скорость лодки против течения

77/(9+х) - время лодки по течению

77/(9-х) - время лодки против течения

По условию задачи на путь по течению затрачено на 4 часа меньше, уравнение:

77/(9-х) - 77/(9+х) = 4

Избавляемся от дробного выражения, общий знаменатель (9-х)(9+х) или 81-х², надписываем дополнительные множители над числителями:

77(9+х) - 77(9-х)=4(81-х²)

693+77х-693+77х=324-4х²

4х²+154х-324=0/4 разделим уравнение на 4 для удобства вычислений:

х²+38,5х-81=0

х₁,₂=(-38,5±√1482,25+324)/2

х₁,₂=(-38,5±√1806,25)/2

х₁,₂=(-38,5±42,5)/2

х₁= -81/2= -40,5 отбрасываем, как отрицательный

х₂= 4/2=2 (км/час) - скорость течения реки

Проверка:

77: 11=7 (часов) время по течению

77 : 7=11 (часов) время против течения

11-7=4 (часа) - разница, всё верно.

Answer 2

Пусть $v$ - это скорость течения (в км/ч), а $x$ - скорость лодки в неподвижной воде (в км/ч).

Когда лодка движется против течения, её относительная скорость уменьшается на $v$, поэтому её скорость становится $x - v$. Когда лодка движется по течению, её относительная скорость увеличивается на $v$, и её скорость становится $x + v$.

Мы знаем, что лодка прошла 77 км против течения и вернулась на 4 часа быстрее. Мы можем записать это в виде уравнения:

$$77 / (x - v) = 77 / (x + v) + 4$$

Теперь решим это уравнение относительно $v$:

$$77 / (x - v) = 77 / (x + v) + 4$$

Умножим обе стороны на $(x - v)(x + v)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$77(x + v) = 77(x - v) + 4(x - v)(x + v)$$

Раскроем скобки:

$$77x + 77v = 77x - 77v + 4(x^2 - v^2)$$

Упростим уравнение:

$$77v = 4x^2 - 4v^2$$

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

$$4x^2 - 4v^2 - 77v = 0$$

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно $v$. Решим его:

$$4x^2 - 4v^2 - 77v = 0$$

$$4v^2 + 77v - 4x^2 = 0$$

Применяя квадратную формулу, получаем:

$$v = \frac{-77 \pm \sqrt{77^2 + 4 \cdot 4 \cdot x^2}}{2 \cdot 4}$$

$$v = \frac{-77 \pm \sqrt{5929 + 64x^2}}{8}$$

Так как скорость течения $v$ не может быть отрицательной, мы выберем положительное значение:

$$v = \frac{-77 + \sqrt{5929 + 64x^2}}{8}$$

Теперь подставим значение $x = 9$ км/ч (скорость лодки в неподвижной воде):

$$v = \frac{-77 + \sqrt{5929 + 64 \cdot 9^2}}{8} \approx 3.5 \text{ км/ч}$$

Итак, скорость течения примерно равна 3.5 км/ч.