Question

Найди сумму 1+2+2²+2³+....+2ᵇ

Answer 1

Необходимо найти сумму $b+1$ членов геометрической прогрессии $(b_n): 1, 2, 4, 8, ..., 2^b$.

Воспользуемся формулой суммы $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1};\\\\ S_{b+1}=\frac{1\cdot(2^{b+1}-1)}{2-1}=\frac{2^{b+1}-1}{1}=2^{b+1}-1$

ОТВЕТ: $2^{b+1}-1$.

Answer 2

Данная сумма представляет собой геометрическую прогрессию, где каждый следующий элемент равен предыдущему, умноженному на 2. Обозначим первый член прогрессии как a = 1, а знаменатель прогрессии как r = 2.

Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Sₙ = a * (rⁿ - 1) / (r - 1)

где Sₙ - сумма первых n членов прогрессии, а n - количество членов прогрессии, которое мы хотим сложить.

В данном случае, нам нужно найти сумму всех членов прогрессии от 1 до 2^b.

Таким образом, n = b и a = 1, r = 2.

Sᵇ = 1 * (2ᵇ - 1) / (2 - 1) Sᵇ = 2ᵇ - 1

Таким образом, сумма данной геометрической прогрессии равна 2^b - 1.