Question

Квадрат суммы в 4 степени как можно вывести формулу

Answer 1

Ответ:

(a + b)⁴ = а⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

Объяснение:

(a + b)⁴ = ((a + b)²)² = (a² + 2ab + b²)² = ...

Теперь можно многочлен умножить на многочлен.

А можно воспользоваться формулой (а+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.

Я сначала выполню обычное умножение, затем использую формулу, а Вы выбирайте удобный для Вас способ

(a + b)⁴ = ((a + b)²)² = (a² + 2ab + b²)² = (a² + 2ab + b²)•(a² + 2ab + b²) = а⁴ + 2а³b + a²b² + 2а³b + 4a²b² + 2ab³ + a²b² + 2ab³ + b⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

Или

(a + b)⁴ = ((a + b)²)² = (a² + 2ab + b²)² = а⁴ + 4а²b² + b⁴ + 4a³b + 2a²b² + 4ab³ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

Answer 2

Конечно, формула для квадрата суммы в 4-й степени может быть выведена следующим образом:

Пусть у нас есть два числа a и b. Тогда квадрат их суммы (a + b)^2 равен:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Теперь, возведем полученное выражение в четвертую степень:

((a + b)^2)^4 = (a^2 + 2ab + b^2)^4

Для удобства, обозначим x = a^2, y = 2ab и z = b^2. Тогда:

((a + b)^2)^4 = (x + y + z)^4

Следуя биномиальной формуле для возведения в 4-ю степень:

(x + y + z)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 + 4x^3z + 12x^2yz + 12xy^2z + 4y^3z + 6x^2z^2 + 12xyz^2 + 9y^2z^2 + 4xz^3 + 4yz^3 + z^4

Теперь, заменим обратно x, y и z на исходные значения:

(x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 + 4x^3z + 12x^2yz + 12xy^2z + 4y^3z + 6x^2z^2 + 12xyz^2 + 9y^2z^2 + 4xz^3 + 4yz^3 + z^4) = (a^8 + 4a^6b + 6a^4b^2 + 4a^2b^3 + b^4 + 4a^6b + 12a^4b^2 + 12a^2b^3 + 4b^5 + 6a^4b^4 + 12a^2b^5 + 9b^6 + 4a^5b^3 + 4a^3b^4 + b^8)

Итак, выражение (a + b)^2 в 4-й степени равно:

a^8 + 8a^6b + 24a^4b^2 + 32a^2b^3 + 16ab^4 + b^8

Это и есть формула для квадрата суммы в 4-й степени.