Question

В геометрической прогрессии найдите q если b2 = 3 и b4+b6=60

Answer 1

Ответ:

B2=b1q; b4=b1q^3; b6=b1q^5; тогда система: b1q=3 и b1q^3+b1q^5=60

из второго выносим b1q, получается: b1q(q^2+q^4)=60; заменяем b1q на 3, получается: 3(q^2+q^4)=60; q^2+q^4=20.

Пусть t=q^2, t>=0 тогда t+t^2=20, решаем квадратное уравнение, t=4, значит q=2 или q=-2

Ответ: 2; -2

Answer 2

Для геометрической прогрессии (ГП) с первым членом b₁ и знаменателем q общий член ГП имеет вид:

bᵢ = b₁ * q^(i-1)

где i - номер члена прогрессии.

Мы знаем, что b₂ = 3 и b₄ + b₆ = 60.

1. Найдем q по значению b₂: Известно, что b₂ = b₁ * q^(2-1) = b₁ * q. Так как b₂ = 3, то у нас есть уравнение: 3 = b₁ * q

2. Теперь найдем b₄ и b₆: b₄ = b₁ * q^(4-1) = b₁ * q^3 b₆ = b₁ * q^(6-1) = b₁ * q^5

3. Составим уравнение для b₄ + b₆: b₄ + b₆ = b₁ * q^3 + b₁ * q^5 = b₁ * (q^3 + q^5)

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 3 = b₁ * q
2. b₄ + b₆ = b₁ * (q^3 + q^5) = 60

Мы можем решить эти уравнения, подставив второе уравнение в первое:

3 = (60) / (q^3 + q^5)

q^3 + q^5 = 60 / 3 = 20

Теперь перенесем все слагаемые в одну часть:

q^5 + q^3 - 20 = 0

На данный момент у нас есть пятая степень q и третья степень q в уравнении. Чтобы решить это квадратное уравнение относительно q^3, введем замену x = q^3:

Теперь уравнение примет вид:

x^2 + x - 20 = 0

Факторизуем уравнение:

(x + 5)(x - 4) = 0

Получаем два решения для x:

1. x + 5 = 0 -> x = -5
2. x - 4 = 0 -> x = 4

Теперь вернемся к нашим переменным:

1. q^3 = -5 Это решение не имеет смысла, так как знаменатель ГП не может быть отрицательным.

2. q^3 = 4 Теперь найдем значение q:

q = ∛(4) = 4^(1/3) ≈ 1.587

Итак, значение q примерно равно 1.587.