Question

Объяснить пожалуйста почему функция у=|3х+2| не имеет производной в точке -2/3, ведь как я понимаю область определения функции действительные числа соответсвенно функция не прерывна на всей области и производную можно найти в любой точке)

Answer 1

Ответ: производная функции f(x) (xf в точке x0 существует только  когда существуют совпадающие друг с другом левая и правая производные    функции в этой точке f'(x0)=f'(x0-0)=f'(x0+0). Если же хотя бы одна из односторонних производных не существует, то производная f'(x0) не существует. Для данной задачи при х<-2/3 производная равна -3, при х>-2/3 производная равна 3. Так как 3≠-3, то производной в точке х=-2/3 не существует.

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию $y = |3x + 2|$ и посмотрим, почему у неё нет производной в точке $-\frac{2}{3}$.

Сначала давайте определим, что такое производная функции в точке. Производная функции в точке показывает, как быстро меняется значение функции в этой точке при изменении аргумента (в данном случае, $x$). Математически, производная $f'(x)$ функции $f(x)$ в точке $x = a$ определяется следующим образом:

$f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Итак, давайте рассмотрим функцию $y = |3x + 2|$. В точке $x = -\frac{2}{3}$ выражение $3x + 2$ равно $0$, и поэтому значение функции $y$ в этой точке равно $|0| = 0$. Теперь давайте попробуем найти производную функции $y$ в точке $x = -\frac{2}{3}$, используя определение производной.

$y'(-\frac{2}{3}) = \lim_{{h \to 0}} \frac{y(-\frac{2}{3} + h) - y(-\frac{2}{3})}{h}$

Заметим, что когда $x$ находится в окрестности точки $-\frac{2}{3}$, выражение $3x + 2$ всегда имеет разные знаки (положительный или отрицательный), так как оно пересекает ось $x$ в этой точке. Это означает, что $\frac{y(-\frac{2}{3} + h) - y(-\frac{2}{3})}{h}$ будет либо положительным, либо отрицательным (по зависимости от того, с какой стороны подходит $h$ к нулю).

Однако, это приводит к противоречию. Мы видим, что производная в точке $-\frac{2}{3}$ не имеет одного конкретного значения, так как в разных окрестностях точки она может быть положительной или отрицательной. Это означает, что производная не существует в точке $-\frac{2}{3}$, и функция $y = |3x + 2|$ не имеет производной в этой точке.

Таким образом, несмотря на то, что функция определена на всей числовой прямой, она не имеет производной в точке $-\frac{2}{3}$ из-за разрыва в производной в этой точке.