Question

Найдите наименьшее значение выражения 10x^2+6xy+y^2-2x+1 и значения переменных, при которых оно достигается. Значение выражения= ? x=? y=?

Answer 1

$min\left \{ 10x^2+6xy+y^2-2x+1 \right \}=?\\10x^2+6xy+y^2-2x+1=0\\10x^2+10x\left ( \frac{3}{5}y-\frac{1}{5} \right )+y^2+1=0\\10\left ( x+\left ( \frac{3}{10}y-\frac{1}{10} \right ) \right )^2-10\left ( \frac{3}{10}y-\frac{1}{10} \right )^2+y^2+1=0\\10\left ( x+\left ( \frac{3}{10}y-\frac{1}{10} \right ) \right )^2+\frac{1}{10}y^2+\frac{3}{5}y+\frac{9}{10}=0\\10\left ( x+\left ( \frac{3}{10}y-\frac{1}{10} \right ) \right )^2+\frac{1}{10}(y+3)^2=0\Rightarrow (x;y)=(1;-3)$

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение выражения 10x^2 + 6xy + y^2 - 2x + 1, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производные по x и y и приравняйте их к нулю, чтобы найти критические точки.

2. Используйте вторую производную для проверки, являются ли найденные критические точки минимумами.

Давайте выполним эти шаги:

1. Найдем производные по x и y:

d/dx (10x^2 + 6xy + y^2 - 2x + 1) = 20x + 6y - 2 d/dy (10x^2 + 6xy + y^2 - 2x + 1) = 6x + 2y

Теперь приравняем их к нулю:

20x + 6y - 2 = 0 ...(1) 6x + 2y = 0 ...(2)

2. Решим систему уравнений (1) и (2) для нахождения критических точек:

Из уравнения (2) можно выразить y через x: y = -3x.

Теперь подставим y = -3x в уравнение (1):

20x + 6(-3x) - 2 = 0 20x - 18x - 2 = 0 2x - 2 = 0 2x = 2 x = 1

Теперь найдем значение y, используя уравнение (2):

y = -3x y = -3 * 1 y = -3

Таким образом, критическая точка (x, y) равна (1, -3).

Теперь найдем значение выражения в этой критической точке:

Значение выражения = 10x^2 + 6xy + y^2 - 2x + 1 Значение выражения = 10(1)^2 + 6(1)(-3) + (-3)^2 - 2(1) + 1 Значение выражения = 10 + (-18) + 9 - 2 + 1 Значение выражения = 0

Таким образом, наименьшее значение выражения 10x^2 + 6xy + y^2 - 2x + 1 равно 0, и оно достигается при x = 1 и y = -3.