Question

Исследуйте функцию y=(3+x^2)/(x-2)на монотонность и экстремумы/ Очень срочно, пожалуйста

Answer 1

Ответ:

y=(3-x²)/(x+2)

y`=(-2x*(x+2)-1*(3-x²))/(x+2)²=(-2x²-4x-3+x²)/(x+2)²=-(x²+4x+3)/(x+2)²=0

-(x²+4x+3)=0

x1+x2=-4 u x1*x2=3

x1=-3 U x2=-1

          _                  +                    _

---------------------------------------------------

 убыв            -3 возр          -1  убыв

                  min                max

убыв x∈(-∞;-3) U (1;∞)

возр x∈(-3;-1)      

Объяснение:

Answer 2

Давайте проведем исследование функции $y = \frac{3 + x^2}{x - 2}$ на монотонность и экстремумы. Для этого мы будем анализировать производные функции.

1. Найдем производную функции $y$ по переменной $x$: $y = \frac{3 + x^2}{x - 2}$

Сначала раскроем числитель дроби: $y = \frac{3 + x^2}{x - 2} = \frac{x^2 + 3}{x - 2}$

Применяем правило дифференцирования частного функций: $\frac{dy}{dx} = \frac{(x - 2)(2x) - (x^2 + 3)(1)}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 3}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 3}{(x - 2)^2}$

2. Найдем точки, где производная равна нулю, чтобы найти критические точки: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 4x - 3}{(x - 2)^2} = 0$

Решая уравнение $x^2 - 4x - 3 = 0$, получаем два корня: $x = -1$ и $x = 3$.

3. Теперь найдем значения второй производной для этих точек, чтобы определить их тип (максимум, минимум или точка перегиба): $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2x(x - 2)^2 - 2(x^2 - 4x - 3)(2x - 4)}{(x - 2)^4}$

Для $x = -1$: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(-1)(-3)^2 - 2((-1)^2 - 4(-1) - 3)(2(-1) - 4)}{(-1 - 2)^4} = \frac{-18 - 8}{27} = -\frac{26}{27}$

Для $x = 3$: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(3)(1)^2 - 2(3^2 - 4(3) - 3)(2(3) - 4)}{(3 - 2)^4} = \frac{6 - 6}{1} = 0$

Итак, у нас есть следующая информация:

• Для $x = -1$, вторая производная отрицательна ($-\frac{26}{27}$), что указывает на локальный максимум.
• Для $x = 3$, вторая производная равна 0, что не дает нам достаточной информации для определения типа точки.

4. Проверим поведение функции на интервалах между критическими точками и за пределами них:

• Когда $x < -1$, $\frac{d^2y}{dx^2} < 0$, следовательно, функция монотонно убывает.
• Между -1 и 3, вторая производная не дает нам ясной информации о монотонности.
• Когда $x > 3$, $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$, что также не дает нам информации о монотонности.

Итак, исследование показывает, что у функции есть локальный максимум в точке