Question

Решите неравенство!!!!!!!! |x+7|<|x^2-3x+2|

Answer 1

$|x+7|0\\(x^2-4x-5)(x^2-2x+9)>0 |:(x^2-2x+9)>0\\x^2-4x-5>0\\x^2-4x+4-9>0\\(x-2)^2-3^2>0\\(x-2-3)(x-2+3)>0\\(x-5)(x+1)>0\\x\in (-\infty; -1) \cup(5; +\infty)\\Answer: x\in (-\infty; -1) \cup(5; +\infty)$

Answer 2

Для решения данного неравенства, нам нужно разбить его на несколько случаев, так как модули могут иметь различные значения в зависимости от знака аргумента.

1. Пусть $x+7$ и $x^2-3x+2$ положительны: $|x+7| = x+7$, и $|x^2-3x+2| = x^2-3x+2$.

Тогда неравенство примет вид: $x+7 < x^2-3x+2$. Приведем все члены к одной стороне: $x^2 - 3x + 2 - x - 7 > 0$, $x^2 - 4x - 5 > 0$.

Решим квадратное уравнение: $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}$, $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$, $x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}$, $x = \frac{4 \pm 6}{2}$.

Таким образом, получим два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

2. Пусть $x+7$ и $x^2-3x+2$ отрицательны: $|x+7| = -(x+7)$, и $|x^2-3x+2| = -(x^2-3x+2)$.

Тогда неравенство примет вид: $-(x+7) < -(x^2-3x+2)$. Приведем все члены к одной стороне: $-x - 7 < -x^2 + 3x - 2$, $x^2 - 2x + 5 < 0$.

Как можно заметить, это квадратное уравнение не имеет решений, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$ отрицателен, а значит, корней нет.

3. Пусть $x+7$ положительно, а $x^2-3x+2$ отрицательно: $|x+7| = x+7$, и $|x^2-3x+2| = -(x^2-3x+2)$.

Тогда неравенство примет вид: $x + 7 < -(x^2-3x+2)$. Приведем все члены к одной стороне: $x^2 - 4x - 9 < 0$.

Ищем корни уравнения: $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1}$, $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 36}}{2}$, $x = \frac{4 \pm \sqrt{52}}{2}$