Question

Исследовать на экстремум функцию: z=xy+y^2+x^2-2x-9

Answer 1

$z=xy+y^2+x^2-2x-9\\\\a)\; \; z'_{x}=y+2x-2=0\; \; ,\; \; \; y+2x=2\; \; ,\; \; y+2\, (-2y)=2\; ,\; \; -3y=2\; ,\; y=-\frac{2}{3}\\\\z'_{y}=x+2y=0\; \; ,\; \; \; x=-2y\; \; ,\; \; x=-2\cdot (-\frac{2}{3})=\frac{4}{3}\\\\M_0\Big(\, \frac{4}{3}\, ;\, -\frac{2}{3}\Big)\\\\b)\; \; z''_{xx}=2\; ,\; \; z''_{xy}=1\; ,\; \; z''_{yy}=2\\\\A=z''_{xx}(M_0)=2\; \; ,\; \; B=z''_{xy}(M_0)=1\; \; ,\; \; C=z''_{yy}(M_0)=2\\\\AC-B^2=2\cdot 2-1^2=4-1=3>0\; \; \Rightarrow$

Функция имеет экстремум,причём, так как A=2>0, то это  min .

$z_{min}=z(M_0)=z\Big(\, \frac{4}{3}\, ;\, -\frac{2}{3}\Big)=-\frac{8}{9}+\frac{4}{9}+\frac{16}{9}-\frac{8}{3}-9=\frac{-93}{9}=-10\frac{1}{3}$

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы, мы должны найти её частные производные по переменным x и y, приравнять их к нулю и решить полученные уравнения относительно x и y. После этого, найдем вторые частные производные и проверим условия, чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами.

Дано: z = xy + y^2 + x^2 - 2x - 9

1. Найдем частные производные функции z по x и y: ∂z/∂x = y + 2x - 2 ∂z/∂y = x + 2y

2. Приравняем частные производные к нулю и решим систему уравнений: y + 2x - 2 = 0 ...(1) x + 2y = 0 ...(2)

Из уравнения (2) выразим x через y: x = -2y

Подставим значение x в уравнение (1): y + 2(-2y) - 2 = 0 y - 4y - 2 = 0 -3y - 2 = 0 y = -2/3

Теперь найдем значение x, используя выражение x = -2y: x = -2(-2/3) = 4/3

3. Теперь найдем значение z в этой точке: z = xy + y^2 + x^2 - 2x - 9 z = (4/3) * (-2/3) + (-2/3)^2 + (4/3)^2 - 2 * (4/3) - 9 z = -8/9 + 4/9 + 16/9 - 8/3 - 9 z = (-8 + 4 + 16 - 24 - 81) / 9 z = -93/9 z = -31/3 ≈ -10.33

Таким образом, найденная точка экстремума: (x, y, z) = (4/3, -2/3, -31/3) или примерно (1.33, -0.67, -10.33).

4. Найдем вторые частные производные функции z по x и y: ∂^2z/∂x^2 = 2 ∂^2z/∂y^2 = 2 ∂^2z/∂x∂y = 1 ∂^2z/∂y∂x = 1

5. Теперь используем тест на экстремумы: Для точки (4/3, -2/3): D = ∂^2z/∂x^2 * ∂^2z/∂y^2 - (∂^2z/∂x∂y)^2 D = 2 * 2 - 1^2 D = 4 - 1 D = 3

D > 0, и ∂^2z/∂x^2 > 0, что говорит нам о том, что это точка минимума.

Итак, функция имеет локальный минимум в точке (4/3, -2/3, -31/3) или примерно (1.33, -0.67, -10.33).