Question

Решите уравнение: 2x^3-3x^2+2x-1=0

Answer 1

Ответ:

1

Объяснение:

$2x^3-3x^2+2x-1=0\\2x^3-2x^2-x^2+x+x-1=0\\2x^2(x-1)-x(x-1)+(x-1)=0\\(x-1)(2x^2-x+1)=0\\x=1\\x\in\varnothing$

Answer 2

Для решения данного уравнения используем методы аналитической геометрии и алгебры. У вас есть кубическое уравнение, и оно может быть решено через разложение на множители или методом Кардано. Давайте попробуем разложение на множители.

Уравнение: $2x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0$.

1. Попробуем подобрать корень уравнения. Можно использовать рациональный корень $x = \pm \frac{a}{b}$, где $a$ - делитель свободного члена (-1), а $b$ - делитель коэффициента при старшей степени (2). В данном случае подходят $a = 1$ и $b = 2$, поэтому попробуем $x = \pm \frac{1}{2}$.

2. Подставим $x = \frac{1}{2}$:

   $2 \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 3 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 0$.

   $2 \cdot \frac{1}{8} - 3 \cdot \frac{1}{4} + 1 - 1 = 0$.

   $\frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 1 - 1 = 0$.

   $0 = 0$.

   Корень $x = \frac{1}{2}$ подходит.

3. Теперь мы знаем, что $x - \frac{1}{2}$ является множителем уравнения. Применим деление многочленов:

   $2x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = (x - \frac{1}{2})(2x^2 + x + 2)$.

4. Дальше решим квадратное уравнение $2x^2 + x + 2 = 0$. Мы видим, что это квадратное уравнение не имеет рациональных корней, поэтому воспользуемся дискриминантом:

   $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$.

   Так как дискриминант отрицателен, уравнение $2x^2 + x + 2 = 0$ имеет два комплексных корня.

5. Итак, решение квадратного уравнения $2x^2 + x + 2 = 0$ - это два комплексных корня, которые могут быть найдены с помощью формулы для комплексных корней:

   $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{-15}}{2 \cdot 2}$.

   $x = \frac{-1 \pm \sqrt{15}i}{4}$.

Таким образом, корни кубического уравнения $2x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0$ это:

$x = \frac{1}{2}$ и $x = \frac{-1 \pm \sqrt{15}i}{4}$.