Question

приведите квадратичную форму к каноническому виду.Укажите базис , в котором квадратичная форма имеет канонический вид. 6x1^2 +5x2^2+7x3^2 -4x1x2 +4x1x3

Answer 1

$A = 6x_1^2 + 5x_2^2 + 7x_3^2 - 4x_1x_2 + 4x_1x_3 = 6(x_1^2 - \frac23x_1x_2 + \frac23x_1x_3) + 5x_2^2 + 7x_3^2\\x_1^2 - \frac23x_1x_2 + \frac23x_1x_3 = x_1^2 - 2x_1\left(\frac{x_2}3 - \frac{x_3}3\right) +\left(\frac{x_2}3 - \frac{x_3}3\right)^2 - \left(\frac{x_2}3 - \frac{x_3}3\right)^2 =\\ = (x_1 - \left(\frac{x_2}3 - \frac{x_3}3\right))^2 - \left(\frac{x_2}3 - \frac{x_3}3\right)^2 = (x_1 - \left(\frac{x_2}3 - \frac{x_3}3\right))^2 - \frac{x_2^2}9 + \frac{2x_2x_3}9 - \frac{x_3^2}{9}$

$\widetilde{x}_1 = x_1 - \frac{x_2}3 + \frac{x_3}3\\A = 6\widetilde{x}_1^2 - \frac{2x_2^2}{3} + \frac{4x_2x_3}{3} - \frac{2x_3^2}{3} + 5x_2^2 + 7x_3^2 = 6\widetilde{x}_1^2 + \frac{13x_2^2}{3} + \frac{4x_2x_3}{3} + \frac{19x_3^2}{3} =\\6\widetilde{x}_1^2 + \frac{13}{3}\left(x_2^2 + \frac{4x_2x_3}{13} \right) + \frac{19x_3^2}{3}$

$x_2^2 + \frac{4x_2x_3}{13} = \left(x_2 + \frac{2x_3}{13} \right)^2 - \frac{4x_3^2}{169}\\\widetilde{x}_2 = x_2 + \frac{2x_3}{13}$

$A = 6\widetilde{x}_1^2 + \frac{13}3\widetilde{x}_2^2 - \frac{4x_3^2}{39} + \frac{19x_3^2}{3} = 6\widetilde{x}_1^2 + \frac{13}3\widetilde{x}_2^2 + \frac{243x_3^2}{39}\\\widetilde{x}_3 = x_3$

$A = 6\widetilde{x}_1^2 + \frac{13}3\widetilde{x}_2^2 + \frac{243}{39}\widetilde{x}_3^2\\\begin{cases}\widetilde{x}_1 = x_1 - \frac{x_2}3 + \frac{x_3}3\\\widetilde{x}_2 = x_2 + \frac{2x_3}{13}\\\widetilde{x}_3 = x_3\end{cases}$

Answer 2

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду, мы хотим убрать все смешанные произведения переменных и представить квадратичную форму в виде суммы квадратов переменных. Для этого нам понадобится выполнить процедуру диагонализации матрицы квадратичной формы.

Квадратичная форма:

Q(x1, x2, x3) = 6x1^2 + 5x2^2 + 7x3^2 - 4x1x2 + 4x1x3

Для того чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, найдем матрицу квадратичной формы A:

A = [[6, -2, 2], [-2, 5, 0], [2, 0, 7]]

Теперь, чтобы привести эту матрицу к диагональному виду (каноническому виду), найдем собственные значения и собственные векторы этой матрицы.

Собственные значения (λ) находятся из уравнения det(A - λI) = 0:

|A - λI| = |6-λ -2 2| |-2 5-λ 0| |2 0 7-λ| = 0

Раскладываем определитель:

(6-λ)((5-λ)(7-λ) - 0) - (-2)(-2(7-λ) - 0) + 2( -2(0) - (-2)(5-λ) ) = 0

(6-λ)(35-12λ+λ^2) - 4(7-λ) + 4(5-λ) = 0

(6-λ)(λ^2-12λ+35) - 4(12-λ) = 0

Раскрываем скобки:

6λ^2 - 72λ + 210 - λ^3 + 12λ^2 - 35λ - 48 + 4λ = 0

-λ^3 + 18λ^2 - 29λ + 162 = 0

Теперь решаем уравнение для λ. Возможно, потребуется использовать численные методы для приближенного нахождения корней. Предположим, что у нас есть три различных собственных значения λ1, λ2, и λ3.

Для каждого собственного значения, находим собственные векторы, решив систему уравнений (A - λI)x = 0.

Для λ = λ1: (6-λ1)x1 - 2x2 + 2x3 = 0 -2x1 + (5-λ1)x2 = 0 2x1 + 2x3 + (7-λ1)x3 = 0

Для λ = λ2: (6-λ2)x1 - 2x2 + 2x3 = 0 -2x1 + (5-λ2)x2 = 0 2x1 + 2x3 + (7-λ2)x3 = 0

Для λ = λ3: (6-λ3)x1 - 2x2 + 2x3 = 0 -2x1 + (5-λ3)x2 = 0 2x1 + 2x3 + (7-λ3)x3 = 0

После того, как мы найдем все собственные значения и соответствующие им линейно независимые собственные векторы, составляем матрицу S, где столбцами будут собственные векторы, а затем находим обратную матрицу S^(-1).

Теперь, приведем квадратичную форму к каноническому виду, используя матрицу преобразования:

y = S^(-1) * x

где x - вектор переменных (x1, x2, x3), а y - вектор переменных в новом базисе.

После преобразования, квадратичная форма примет следующий вид:

Q(y1, y2, y3) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + λ3*y3^2

Базис, в котором квадратичная форма принимает канонический вид, будет состоять из собственных векторов, соответствующих найденным собственным значениям.