Question

Приведите квадратичную форму к каноническому виду. Укажите базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Answer 1

Ответ:

привет♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Answer 2

Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, необходимо выполнить процесс диагонализации матрицы этой формы. Это достигается путем приведения матрицы квадратичной формы к диагональному виду с помощью преобразования подходящей замены координат.

Для примера, рассмотрим квадратичную форму на двумерном пространстве: Q(x, y) = 3x^2 - 2xy + 2y^2

Чтобы привести эту квадратичную форму к каноническому виду, нужно найти матрицу A, такую что:

[A] = [P]^T [Q] [P]

где [Q] - матрица квадратичной формы Q, [P] - матрица замены координат. Матрица A будет диагональной и будет содержать собственные значения квадратичной формы.

Найдем сначала матрицу [Q]: [Q] = [[3, -1], [-1, 2]]

Чтобы найти матрицу [P], рассмотрим уравнение: [Q] [P] = [P] [A]

где [A] - диагональная матрица с собственными значениями.

Вычислим собственные значения и собственные векторы для матрицы [Q]. Получим: Собственные значения: λ₁ = 4, λ₂ = 1

Собственные векторы: v₁ = [1, 1] v₂ = [-1, 1]

Составим матрицу [P], в которой столбцы будут образованы собственными векторами: [P] = [[1, -1], [1, 1]]

Теперь можем привести матрицу [Q] к диагональному виду: [A] = [P]^T [Q] [P]

[A] = [[1, 1], [-1, 1]]^T [[3, -1], [-1, 2]] [[1, -1], [1, 1]]

[A] = [[4, 0], [0, 1]]

Таким образом, в базисе, образованном собственными векторами, квадратичная форма Q(x, y) = 3x^2 - 2xy + 2y^2 имеет канонический вид Q(x', y') = 4x'^2 + y'^2.