Question

привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием указать линейное преобразование приводящее каноническому виду x1²+x2²+5x3²+2x1x2-2x1x3+4x2x3​

Answer 1

Объяснение:

kjəjkekskkkdkəkəllq

Answer 2

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием, нужно выполнить несколько шагов:

1. Записать квадратичную форму в виде матрицы. Для данной формы:

   Q = | 1 1 -1 | | 1 1 2 | | -1 2 5 |

2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Q. Решим характеристическое уравнение:

   det(Q - λI) = 0

   Где I - единичная матрица, λ - собственное значение.

   После вычислений, собственные значения λ₁ = 7, λ₂ = 1, λ₃ = -2.

3. Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям. Для каждого собственного значения решим систему уравнений: (Q - λI)v = 0.

   После вычислений, получаем собственные векторы:

   Для λ₁ = 7: v₁ = [1, 1, -1] Для λ₂ = 1: v₂ = [1, 0, 1] Для λ₃ = -2: v₃ = [-1, 1, 1]

4. Нормализуем собственные векторы, чтобы получить ортонормированный базис. Для этого разделим каждый собственный вектор на его длину:

   v₁' = [1/√3, 1/√3, -1/√3] v₂' = [1/√2, 0, 1/√2] v₃' = [-1/√3, 1/√3, 1/√3]

5. Составим матрицу P, в которой столбцы будут образованы ортонормированными собственными векторами:

   P = | 1/√3 1/√2 -1/√3 | | 1/√3 0 1/√3 | | -1/√3 1/√2 1/√3 |

6. Теперь выполняем ортогональное преобразование для приведения исходной квадратичной формы к каноническому виду:

   x' = P^T * x

   Где x' - новые координаты, P^T - транспонированная матрица P.

   Выполняя матричное умножение, получим новую квадратичную форму:

   x'₁² + x'₂² + 7x'₃²

Таким образом, исходная квадратичная форма была приведена к каноническому виду ортогональным преобразованием, и линейное преобразование, приводящее канонический вид, задается матрицей P.