Question

Два действительных числа х и у выбирают наугад независимо друг от друга так, что сумма их квадратов меньше 100. Какова вероятность того, что сумма положительных х и у окажется больше 64?

Answer 1

Практически очевидно, что если сумма квадратов двух положительных чисел меньше 100, то сумма самих этих чисел не может быть больше 64. Докажем это строго.

Первый способ.

Пусть сумма квадратов двух положительных чисел х и у равна 100.

$x^2+y^2=100$

Составим выражение для суммы чисел х и у и найдем при каком условии оно принимает максимальное значение и чему равно это значение.

$S=x+y$

Выразим у из первого условия: $y=\sqrt{100-x^2}$

$S=x+\sqrt{100-x^2}$

Найдем производную:

$S'=1+\dfrac{1}{2\sqrt{100-x^2}} \cdot(100-x^2)'=1-\dfrac{2x}{2\sqrt{100-x^2}} =1-\dfrac{x}{\sqrt{100-x^2}}$

Найдем точки экстремума:

$1-\dfrac{x}{\sqrt{100-x^2}} =0$

$\dfrac{x}{\sqrt{100-x^2}} =1$

$x=\sqrt{100-x^2}$

$x^2=100-x^2$

$2x^2=100$

$x^2=50$

$x=\pm\sqrt{50}$

$x=\pm5\sqrt{2}$

Учитывая, что х - положительное:

$x=5\sqrt{2}$ - точка максимума

$y=\sqrt{100-(5\sqrt{2}) ^2}=\sqrt{100-25\cdot2}=\sqrt{50} =5\sqrt{2}$

Максимум достигается при $x=y=5\sqrt{2}$ и он равен:

$S_{\max}=5\sqrt{2}+5\sqrt{2}=10\sqrt{2}$

Итак, даже при условии, что сумма квадратов равна 100, сама сумма не может быть больше $10\sqrt{2}$. По условию сумма квадратов меньше 100, значит сумма самих чисел меньше $10\sqrt{2}$ и точно не может быть больше 64. Значит, искомая вероятность равна 0.

Второй способ.

Графически решить систему $\begin{cases} x>0,\,\,y>0 \\ x^2+y^264 \end{cases}$ и найти отношение площади фигуры, соответствующей решению этой системы, к площади, являющейся решением системы $\begin{cases} x>0,\,\,y>0 \\ x^2+y^2$ (четверть окружности радиуса 10). Однако, первая система решений иметь не будет, значит вероятность равна 0.

Ответ: 0

Answer 2

Для решения данной задачи обозначим вероятность того, что случайно выбранное число находится в определенном интервале. Пусть вероятность того, что выбранное число находится в интервале (a, b) равна P(a < x < b) и P(c < y < d) для чисел x и y соответственно.

Мы хотим найти вероятность P(x + y > 64), при условии, что сумма квадратов меньше 100, то есть P(x^2 + y^2 < 100).

Давайте разберемся с интервалами, учитывая условия задачи:

1. Сумма квадратов меньше 100: Это можно представить как окружность радиусом 10 (так как 10^2 = 100) с центром в точке (0, 0).

2. Сумма положительных х и у больше 64: Мы хотим, чтобы x + y > 64. Чтобы найти область, соответствующую этому условию, давайте построим прямую x + y = 64. Это прямая с наклоном 45 градусов и пересечением с осями координат в точках (64, 0) и (0, 64).

Теперь нарисуем эти области на координатной плоскости:

scssCopy code
    |\
    | \
    |  \    x + y > 64
    |   \   (штриховая область)
    |----\
    |-----\
    |      \ x^2 + y^2 < 100
    |_______\
    |________\
    |_________\
    |__________\
   (0,0)       (10,0)

Задача сводится к определению вероятности области, соответствующей одновременному выполнению обоих условий: сумма квадратов меньше 100 и сумма положительных x и y больше 64.

Таким образом, нам нужно найти вероятность пересечения областей x^2 + y^2 < 100 и x + y > 64.

Вычислить эту вероятность непосредственно может быть довольно сложно. Вместо этого мы можем воспользоваться методом Монте-Карло для численного приближения.

Метод Монте-Карло заключается в том, чтобы случайным образом выбирать точки на плоскости и подсчитывать долю точек, которые удовлетворяют обоим условиям. Чем больше точек мы выберем, тем более точное приближение мы получим.

Вот пример кода на Python для решения этой задачи с помощью метода Монте-Карло:

pythonCopy code
import random

def is_in_circle(x, y):
    return x**2 + y**2 < 100

def is_above_line(x, y):
    return x + y > 64

def monte_carlo_simulation(num_points):
    count_satisfying_conditions = 0

    for _ in range(num_points):
        x = random.uniform(0, 10)
        y = random.uniform(0, 10)
        
        if is_in_circle(x, y) and is_above_line(x, y):
            count_satisfying_conditions += 1

    probability = count_satisfying_conditions / num_points
    return probability

num_points = 1000000  # Количество точек для моделирования (можно изменить на большее число для повышения точности)
probability = monte_carlo_simulation(num_points)
print(f"Приближенная вероятность: {probability}")

Запустив этот код, мы получим приближенное значение вероятности, что сумма положительных х и у окажется больше 64 при условии, что сумма их квадратов меньше 100.