Question

Найдите интеграл ∫(2х^3+1)^4* х^2dx​

Answer 1

Данный неопределенный интеграл решается с помощью замены переменной. Решение прикреплено фотографией ниже.

Answer 2

Давайте найдем интеграл ∫(2x^3+1)^4 * x^2 dx:

Для начала, проведем замену переменной, чтобы упростить интеграл. Пусть u = 2x^3 + 1, тогда du = 6x^2 dx. Таким образом, dx = du / (6x^2).

Интеграл примет вид: ∫(2x^3+1)^4 * x^2 dx = ∫u^4 * (1/6x^2) du.

Теперь можно разделить интеграл на два члена: ∫u^4 * (1/6x^2) du = (1/6) * ∫u^4 * (1/x^2) du.

Теперь выразим (1/x^2) как x^(-2): (1/6) * ∫u^4 * (1/x^2) du = (1/6) * ∫u^4 * x^(-2) du.

Используя степенное правило для интегралов ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C, где C - постоянная интегрирования, получим: (1/6) * ∫u^4 * x^(-2) du = (1/6) * (1/(-2+1)) * u^5 + C.

Упростим выражение: (1/6) * (1/(-1)) * u^5 + C = -u^5 / 6 + C.

Теперь подставим обратную замену u = 2x^3 + 1: -u^5 / 6 + C = -(2x^3 + 1)^5 / 6 + C.

Итак, окончательный ответ: ∫(2x^3+1)^4 * x^2 dx = -(2x^3 + 1)^5 / 6 + C.