Question

Как интегрировать иррациональные уравнения?

Answer 1

$\int \limits_{b}^{a} \frac{xdx}{ {x}^{2} + 1} = \int \limits_{b}^{a} \frac{x}{t} \times \frac{1}{2x}dt = \\ {x}^{2} + 1 = t, \: dx = \frac{1}{2x} dt \\ = \frac{1}{2} \int \limits_{b}^{a} \frac{1}{t} dt = \frac{ ln( |t| ) }{2} |_{b}^{a} = \frac{ ln( {x}^{2} + 1) }{2} |_{b}^{a} = \\ = \frac{ ln( {a}^{2} + 1) - ln( {b}^{2} + 1) }{2} = \frac{1}{2} ln( \frac{ {a}^{2} + 1}{ {b}^{2} + 1})$

Answer 2

Интегрирование иррациональных уравнений зависит от их формы и сложности. Общий подход к интегрированию иррациональных уравнений может включать в себя замены переменных, приведение подынтегрального выражения к более простому виду, использование методов интегрирования по частям или тригонометрических иррациональностей. Ниже представлены примеры интегрирования различных типов иррациональных уравнений:

1. Интегрирование рационального выражения с корнем:

Пример: ∫(1 / √(x+1)) dx

Заменяем переменную: u = x + 1 Тогда du = dx

Получаем: ∫(1 / √u) du

Теперь интегрируем как степенную функцию: ∫(u^(-1/2)) du = 2√u + C

Возвращаемся к исходной переменной: 2√(x + 1) + C

2. Интегрирование иррационального выражения с квадратичным подкоренным выражением:

Пример: ∫(x^2 / √(x^3 + 1)) dx

Здесь можно использовать замену переменной, чтобы упростить выражение. Например, замена x^3 + 1 = u, тогда 3x^2 dx = du.

Получаем: (1/3) ∫(1 / √u) du

Интегрируем: (1/3) * 2√u + C = (2/3)√(x^3 + 1) + C

3. Интегрирование иррационального выражения с тригонометрической иррациональностью:

Пример: ∫(sinx / √(cosx)) dx

Заменяем переменную: u = cosx Тогда du = -sinx dx

Получаем: ∫(-du / √u)

Теперь интегрируем: -2√u + C = -2√(cosx) + C

Важно помнить, что интегрирование иррациональных уравнений может быть сложным и требует хорошего понимания методов интегрирования и алгебраических преобразований. В некоторых случаях может быть полезно использовать численные методы, если аналитическое интегрирование слишком сложно.