Question

Докажите, что значение выражения (2^2000−1) делится на 5

Answer 1

Ответ: (2^2000−1)=(2^20*2^100-1)=(1024^2*1024^10-1)=(1024^12-1) Так как признаклм деления на 5 является последняя цифра 0 или 5 и 4^12=2^24=1024*1024*16 и последняя цифра равна 6, то 1024^12-1, а, значит, и 2^2000−1 делится нацело на 5.

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение вида $2^n - 1$, где $n$ — целое положительное число. Мы хотим доказать, что это выражение делится на 5. Для этого давайте воспользуемся тем, что у нас есть формула для суммы геометрической прогрессии:

$S = a + ar + ar^2 + \ldots + ar^{n-1} = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1},$

где $a$ — первый член прогрессии, $r$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов прогрессии.

В данном случае $a = 1$ (первый член), $r = 2$ (знаменатель), $n = 2000$. Таким образом,

$S = \frac{1 \cdot (2^{2000} - 1)}{2 - 1} = 2^{2000} - 1.$

Теперь давайте посмотрим на полученное выражение $2^{2000} - 1$. Мы хотим показать, что оно делится на 5.

Для этого давайте рассмотрим остатки от деления степени 2 на 5:

$$\begin{align*} 2^1 &\equiv 2 \pmod{5}, \\ 2^2 &\equiv 4 \pmod{5}, \\ 2^3 &\equiv 3 \pmod{5}, \\ 2^4 &\equiv 1 \pmod{5}. \end{align*}$$

Таким образом, мы видим, что $2^4 \equiv 1 \pmod{5}$. Это означает, что любая степень 2, которая делится на 4, будет иметь остаток 1 при делении на 5.

Теперь рассмотрим $2^{2000}$. Мы можем записать это как $2^{4 \cdot 500}$, что эквивалентно $(2^4)^{500}$, и с учётом нашего наблюдения остатков, это равно 1 в модуле 5.

Итак, мы имеем:

$2^{2000} \equiv 1 \pmod{5}.$

Теперь вернёмся к нашему исходному выражению:

$2^{2000} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{5}.$

Таким образом, $2^{2000} - 1$ действительно делится на 5.