Question

Докажите, что при любом натуральном р значение выражения (3р – 4)2 – р2 делится на 8.

Answer 1

Ответ:

9р²+16-24р-р²

8(р²+2-3р)

точно кратно 8, т.к. хоть один множитель делится на 8

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте воспользуемся методом математической индукции. Идея заключается в том, чтобы сначала проверить базовый случай (например, при r = 1) и затем предположить, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, чтобы доказать его для k + 1.

1. Базовый случай (r = 1): Подставим r = 1 в выражение и убедимся, что оно действительно делится на 8: (3 * 1 - 4)^2 - 1^2 = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0.

2. Предположение индукции: Предположим, что выражение (3k - 4)^2 - k^2 делится на 8 для некоторого натурального k.

3. Индукционный переход: Теперь докажем, что утверждение верно для k + 1. Подставим r = k + 1 в исходное выражение и упростим его: (3(k + 1) - 4)^2 - (k + 1)^2 = (3k - 1)^2 - (k^2 + 2k + 1) = 9k^2 - 6k + 1 - k^2 - 2k - 1 = 8k^2 - 8k.

Таким образом, полученное выражение содержит множитель 8, что означает, что оно делится на 8.

Итак, мы показали, что если утверждение верно для некоторого натурального числа k, то оно верно и для k + 1. По принципу математической индукции, это означает, что утверждение верно для всех натуральных чисел r.

Таким образом, выражение (3р – 4)^2 – р^2 действительно делится на 8 для любого натурального числа р.