Question

В прямоугольном треугольнике острый угол равен arccos(3/5), а периметр равен 24см. Найдите площадь треугольника и докажите, что она выражается целым числом. _______________ Пожалуйста, объясните максимально подробно.

Answer 1

Ответ:

S = 24 см²

Объяснение:

Пусть угол А = аrc cos 3/5

Так как соs A = 3/5 = 0.6, то sin A = √(1 - 0.36) = 0.8

Пусть гипотенуза равна с, тогда катеты

а = c · sin A = 0,8с и b = c · cos A = 0.6c

Периметр треугольника    

Р = с + 0,6с + 0,8с = 24

2,4с = 24

с = 10(см)

а = 0,8 · 10 = 8 (см)

b = 0.6 · 10 = 6 (см)

Площадь прямоугольного треугольника равна

S = 0.5 a · b = 0.5 · 8 · 6 = 24 (см²)

Очевидно, что это целое число.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.

1. Мы знаем, что у нас есть острый угол в прямоугольном треугольнике, и его косинус равен 3/5. Это означает, что отношение длины прилегающего катета к гипотенузе равно 3/5. Давайте обозначим катет как "a", а гипотенузу как "c". Тогда мы имеем:

   cos(угол) = a/c a/c = 3/5

2. Также нам известен периметр треугольника, который равен 24 см:

   Периметр = a + b + c = 24

   Здесь "b" - это второй катет, который мы пока не знаем.

3. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины второго катета "b" в прямоугольном треугольнике:

   c^2 = a^2 + b^2

   Так как у нас есть информация о косинусе угла, мы можем найти значение a^2, используя косинус:

   a^2 = c^2 * cos^2(угол) = c^2 * (3/5)^2 = 9c^2/25

   Теперь мы можем подставить это значение в теорему Пифагора:

   c^2 = 9c^2/25 + b^2

4. Решим уравнение относительно b^2:

   c^2 - 9c^2/25 = b^2 (25c^2 - 9c^2) / 25 = b^2 16c^2 / 25 = b^2 b = c * 4 / 5

5. Теперь мы можем подставить это значение b в уравнение для периметра:

   a + c * 4 / 5 + c = 24

   Далее упростим это уравнение:

   a + (9c / 5) = 24 a = 24 - 9c / 5

6. Теперь мы можем найти площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов:

   Площадь = (1/2) * a * b = (1/2) * ((24 - 9c / 5) * (4c / 5)) = 2c * (24 - 9c / 5) / 25

7. Теперь давайте найдем такое значение c, при котором площадь будет целым числом. Мы знаем, что площадь будет целым числом, только если числитель выражения делится на 25:

   2c * (24 - 9c / 5) должно быть кратно 25

   Раскроем скобки и упростим:

   48c - 18c^2 / 5 должно быть кратно 25

   240c - 18c^2 должно быть кратно 125

   18c^2 - 240c должно быть кратно -125

   18c(c - 40) должно быть кратно -125

   Теперь, чтобы выражение было кратно -125, c должно быть кратно 125.

8. Минимальное положительное целое значение c, которое удовлетворяет этому условию, равно 125.

9. Подставляя значение c = 125 в выражение для площади:

   Площадь = 2 * 125 * (24 - 9 * 125 / 5) / 25 = 2 * 125 * (-171) / 25 = -8550 / 25 = -342

   Однако площадь не может быть отрицательной, поэтому, вероятно, где-то была допущена ошибка в расчетах или предоставленной информации. Возможно, стоит повторно проверить условия задачи и вычисления.