Question

Найдите критические точки функции f(x) = 2sinx+x

Answer 1

Ответ:

$f(x)=2\, sinx+x\\\\f'(x)=2\, cosx+1=0\; \; \; \to \; \; \; cosx=-\dfrac{1}{2}\; \; ,\\\\x=\pm \dfrac{2\pi }{3}+2\pi n\; ,\; n\in Z$

Answer 2

Чтобы найти критические точки функции f(x) = 2sin(x) + x, мы должны найти значения x, где производная функции равна нулю или не существует.

Сначала найдем производную функции f(x): f'(x) = 2cos(x) + 1

Затем приравняем производную к нулю и решим уравнение: 2cos(x) + 1 = 0

Вычтем 1 с обеих сторон: 2cos(x) = -1

Разделим на 2: cos(x) = -1/2

Здесь мы должны найти значения x, при которых косинус равен -1/2. Зная тригонометрическую таблицу, мы можем определить две такие точки на интервале [0, 2π]: π/3 и 5π/3.

Теперь, чтобы проверить, являются ли эти точки критическими точками, нам нужно проанализировать вторую производную f''(x): f''(x) = -2sin(x)

Подставим найденные значения π/3 и 5π/3 во вторую производную: f''(π/3) = -2sin(π/3) = -2 * (√3/2) = -√3 f''(5π/3) = -2sin(5π/3) = -2 * (-√3/2) = √3

Полученные значения показывают, что f''(π/3) и f''(5π/3) не равны нулю, следовательно, точки π/3 и 5π/3 являются экстремальными точками, а именно точками минимума и максимума соответственно.

Таким образом, критические точки функции f(x) = 2sin(x) + x на интервале [0, 2π] - это π/3 (минимум) и 5π/3 (максимум).